RESPOSTAS - MAPA - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

Professor Mateus - Whatsapp (21) 98061-2085 CONTEXTUALIZAÇÃO Uma indústria está projetando um tanque de armazenamento temporário de efluente líquido antes do envio para o sistema de tratamento. O tanque possui base circular e um fundo com formato parabólico, projetado para facilitar o escoamento de sólidos. Durante o dimensionamento do sistema, a equipe de engenharia precisa avaliar: O volume máximo de armazenamento do tanque. A massa total de efluente armazenada, considerando variação de densidade com a profundidade. Para realizar essas análises, serão utilizadas ferramentas matemáticas estudadas em Cálculo Diferencial e Integral II, incluindo integrais múltiplas. Fonte: a autora, 2026. ETAPA 1. Volume do tanque O tanque está centrado na origem do sistema de coordenadas cartesianas (x, y, z), sendo o eixo z orientado verticalmente. O fundo do tanque possui formato de paraboloide e é descrito pela equação: A base circular do tanque, vista no plano horizontal xy, possui raio interno de 2 m. Assim, os pontos da base satisfazem a condição: Na borda do tanque, onde x² + y² = 4, a equação do fundo fornece: Esse valor corresponde ao nível máximo de operação do tanque Para maior entendimento, observe a Figura 1. a) Escreva a integral dupla em coordenadas polares que representa o volume máximo do tanque. Neste momento, não é necessário resolver. b) Calcule o volume máximo do tanque ETAPA 2. Massa total do efluente Durante a operação do tanque, a densidade do efluente não é constante devido à presença de sólidos suspensos. A densidade varia com a altura no interior do tanque segundo a expressão: é a densidade em kg/m³ z é a cota vertical em metros. Tarefas a) Escreva a integral tripla em coordenadas cilíndricas que representa a massa total de efluente armazenado no tanque . Neste momento, não é necessário resolver. b) Resolva a integral e determine a massa total aproximada, em kg, de efluente armazenada no tanque.