MA11 - aula 03 - Complementar e Diferença

DIFERENÇA DE CONJUNTOS Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença entre A e B o conjunto A – B formado pelos elementos de A que não pertencem a B. A – B = {x / x ∈ A e x ∉ B} COMPLEMENTAR DE B EM A Dados dois conjuntos A e B, tais que B ⊂ A, chama-se complementar de B em relação a A o conjunto, formado pelos objetos de A que não pertencem a B. Com o símbolo: C_A^B = A – B COMPLEMENTAR DE UM CONJUNTO Seja o conjunto U, o conjunto com todos os elementos a serem considerados, chamado o universo do discurso, ou conjunto-universo. Dado um conjunto A (isto é, um subconjunto de U), chama-se complementar de A ao conjunto A^C formado pelos objetos de U que não pertencem a A. PROPRIEDADES: A – Ø = A; A – A = Ø; A – U = Ø; U – A = "A" ^C; A – "A" ^C = A; U^C = Ø; "Ø" ^C = U; A – B ⊂ A; B – A ⊂ B; A – B ≠ B – A. EXERCÍCIOS 1º] Demonstre: (i) A – Ø = A; Por definição, A – Ø = {x| x ∈ A e x ∉ Ø}. Como nenhum elemento pertence a Ø, x ∉ Ø é sempre verdadeiro. Assim, A – Ø = {x| x ∈ A}, o que implica A – Ø = A. (i) A – Ø = A; Por definição, A – Ø = {x| x ∈ A e x ∉ Ø}. Como nenhum elemento pertence a Ø, x ∉ Ø é sempre verdadeiro. Assim, A – Ø = {x| x ∈ A}, o que implica A – Ø = A. (ii) A – A = Ø; Por definição, A – A = {x | x ∈ A e x ∉ A}. Não existe x tal que x ∈ A e x ∉ A, já que isso é uma contradição. Logo, A – A = Ø. (iii) A – U = Ø; Por definição, A – U = {x| x ∈ A e x ∉ U}. Como U contém todos os elementos possíveis, x ∉ U é sempre falso. Portanto, A – U = Ø. (iv) U – A = "A" ^C; Por definição, U – A = {x| x ∈ U e x ∉ A}. O complementar de A é definido como "A" ^C = {x | x ∈ U e x ∉ A}. Assim, U – A = "A" ^C. (v) A – "A" ^C = A; Por definição, A – "A" ^C = A = {x| x ∈ A e x ∉ "A" ^C}. Como x ∉ "A" ^C implica x ∈ A. Assim, A – "A" ^C = {x| x ∈ A}, o que implica A – "A" ^C = A. (vi) U^C = Ø; Por definição, U^C = {x | x ∈ U e x ∉ U}. Não existe x tal que x ∈ U e x ∉ U, pois isso é uma contradição. Logo, U^C = Ø. (vii) "Ø" ^C = U; Por definição, "Ø" ^C = {x | x ∈ U e x ∉ Ø}. Como Ø não contém elementos, x ∉ Ø é sempre verdadeiro. Assim, "Ø" ^C = {x | x ∈ U}, ou seja, "Ø" ^C = U. (viii) A – B ⊂ A; Por definição, A – B = {x | x ∈ A e x ∉ B}. Para qualquer x ∈ A – B, temos x ∈ A. Logo, A – B ⊂ A. (ix) B – A ⊂ B; Por definição, B – A = {x | x ∈ B e x ∉ A}. Para qualquer x ∈ B – A , temos x ∈ B. Logo, B – A ⊂ B. (x) A – B ≠ B – A. Por definição: A – B = {x | x ∈ A e x ∉ B}, B – A = {x | x ∈ B e x ∉ A}. Em geral, A – B contém elementos exclusivos de A, e B – A contém elementos exclusivos de B. Se A ≠ B, existem elementos em A – B que não estão em B – A, e vice-versa. Portanto, A – B ≠ B – A. Prof. Reinan Lima Nascimento