Почему гармонический ряд расходится, хотя его члены стремятся к нулю

Добавляйте единицу, затем половину, затем треть, затем четверть и так далее бесконечно. Каждый член меньше предыдущего. Члены стремятся к нулю. Таким образом, сумма должна стабилизироваться на некотором конечном числе. Но этого не происходит. Гармонический ряд расходится: его частичные суммы превышают любое число, которое вы можете назвать. Примерно в 1350 году Николь Оресме обнаружил причину. Не читайте члены по одному. Читайте их блоками. Одна половина — это отдельный блок, равный ровно одной половине. Одна треть плюс одна четверть больше двух четвертей, поэтому этот блок больше, чем одна половина. От одной пятой до одной восьмой больше четырех восьмых, поэтому этот блок также больше, чем одна половина. Каждый последующий блок, независимо от того, насколько далеко вы отходите, вносит вклад больше, чем одна половина. Накопите достаточно блоков, и общая сумма превысит любой потолок, который вы захотите установить. Расхождение происходит поразительно медленно. Частичные суммы отслеживают натуральный логарифм n плюс постоянную Эйлера-Маскерони, примерно 0,5772. Чтобы довести текущую сумму до десяти, необходимо 12 367 членов. Чтобы довести её до ста, необходимо примерно 1,5 × 10 в сорок третьей степени. Если бы вы добавляли один член каждую секунду со времён Большого взрыва, ваша сумма сегодня всё ещё оставалась бы в районе сорока. Это также наиболее точный ответ на вопрос, который задаёт каждый студент, изучающий математический анализ. Если ряд сходится, то его члены должны стремиться к нулю. Это направление верно. Обратное неверно, и гармонический ряд является контрпримером, который завершает дискуссию. Члены, стремящиеся к нулю, — это цена входа для сходимости, а не гарантия. Главы 0:00 Сумма, которая кажется безобидной 0:32 Наблюдение за медленно движущейся суммой 1:29 Оресме читает члены блоками 2:38 Лестница, которая разрушает все потолки 3:16 Сравнение с геометрической прогрессией 4:26 Насколько медленно медленно Создано с помощью Manim. Каждое числовое утверждение в этом видео было проверено символически перед анимацией. #математика #исчисление #гармоническиепоследовательности #бесконечныепоследовательности #manim