Гидростатическое и девиаторное напряжение: разложение тензора напряжения, инвариант J2 и напряжен...

В этой лекции рассматривается разложение тензора напряжений Коши на гидростатическую и девиаторную компоненты и объясняется, почему девиаторный тензор напряжений играет центральную роль в пластичности и текучести. Выводится инвариант девиаторного напряжения J2, который напрямую связан с напряжением фон Мизеса. Полный тензор напряжений может быть разложен на гидростатическую (сферическую) компоненту и девиаторную компоненту, σ = s + σm I, где σm — среднее нормальное напряжение, σm = (1/3) tr(σ), и s — девиаторный тензор напряжений. Гидростатическая компонента представляет собой напряжение, подобное давлению, одинаковое во всех направлениях, в то время как девиаторная компонента представляет собой напряжение, связанное с деформацией или сдвигом. Это разложение особенно важно в пластичности, поскольку для металлов скольжение дислокаций обусловлено сдвиговым напряжением. Поэтому гидростатическое напряжение, как правило, не вносит прямого вклада в обычную пластическую деформацию, в то время как девиаторное напряжение вносит. Далее в лекции рассматривается взаимосвязь между главными направлениями полного тензора напряжений и девиаторного тензора напряжений. Путем сравнения их задач на собственные значения показано, что главные направления σ и s идентичны. Главные девиаторные напряжения получаются путем вычитания среднего напряжения из соответствующих главных напряжений. Затем вводятся инварианты девиаторного тензора напряжений. Первый инвариант J1 тождественно равен нулю, поскольку девиаторный тензор напряжений имеет нулевой след. Второй инвариант равен J2 = 1/2 sij sij. В координатах главных напряжений это принимает вид J2 = 1/6[(σ1 - σ2)² + (σ2 - σ3)² + (σ1 - σ3)²]. В заключение лекции показано, что эквивалентное напряжение фон Мизеса напрямую связано с J2 через σvM² = 3J2, что объясняет, почему модели пластичности, основанные на критерии текучести фон Мизеса, часто называют моделями пластичности J2. Рассмотренные темы: Тензор напряжений Коши Гидростатическое напряжение Сферическое напряжение Среднее нормальное напряжение Девиаторный тензор напряжений Разложение напряжений Гидростатическое и девиаторное напряжения Главные напряжения Главные направления Собственные значения тензора напряжений Девиаторные инварианты напряжений J1, J2 и J3 Второй инвариант J2 Напряжение фон Мизеса Критерий текучести фон Мизеса Пластичность J2 Пластическая деформация и касательное напряжение Механика сплошных сред Теория пластичности Эта лекция закладывает основы механики сплошных сред для дальнейшего развития критериев текучести и моделей пластичности J2.