EXAMEN 1 de LÍMITES Y CONTINUIDAD: dominios, asíntotas y Bolzano | Cálculo y Mét. Numéricos

Examen del bloque 1, funciones, límites y continuidad: cuatro ejercicios de dificultad creciente, a nivel de examen real. ★ Dominio y composición: con f(x) = √(x − 1) y g(x) = (x + 1)/(x − 2), el dominio de f es [1, +∞) y el de g, todos los reales menos el 2; f(g(x)) = √(3/(x − 2)), con dominio (2, +∞), y g(f(x)) = (√(x − 1) + 1)/(√(x − 1) − 2), con dominio [1, 5) ∪ (5, +∞). Cruzar los dos dominios no sirve: con x = 1,5, g da −5 y la raíz no existe. ★★ Tres límites con tres indeterminaciones: (√(x + 1) − 2)/(x − 3) cuando x → 3 es 0/0 y se resuelve con el conjugado (1/4); 1/(x − 1) − 2/(x² − 1) cuando x → 1 es ∞ − ∞ y se resuelve restando (1/2); ((x + 3)/(x − 1))^(2x) en el infinito es 1^∞ y sale e⁸. ★★ Discontinuidades y asíntotas de f(x) = (x³ − 4x)/(x² − x − 2) = x(x + 2)/(x + 1) si x ≠ 2: discontinuidad evitable en x = 2 (un agujero en (2, 8/3)), esencial de salto infinito en x = −1 (asíntota vertical), sin asíntota horizontal y con la oblicua y = x + 1, y su gráfica aproximada. ★★★ Una función a trozos, x + a si x ≤ 0, x³ − x + b si 0 ＜ x ＜ 2 y ax + 2b si x ≥ 2: es continua con a = b = 2, y entonces, con Bolzano aplicado a h(x) = f(x) − 3x (h(0) = 2, h(1) = −1, h(2) = 2), su gráfica corta a la recta y = 3x al menos dos veces entre 0 y 2. Cada ejercicio se propone, paras el vídeo, y después se resuelve paso a paso, con el error típico que quita puntos. Las funciones se explican en los niveles 01 y 02, los límites y las indeterminaciones en los niveles 04 y 05, y la continuidad y Bolzano en los niveles 07 y 08 de esta misma lista, con sus prácticas en los niveles 03, 06 y 09. Es parte de la lista «Cálculo y Métodos Numéricos», pensada para primero de los grados en Inteligencia Artificial, Ingeniería Informática y Ciencia de Datos. Los exámenes van al final de cada bloque, después de la teoría y la práctica. Anterior, Práctica 3 (continuidad y Bolzano):    • CONTINUIDAD Y BOLZANO: parámetros, discont...   Siguiente, teoría (la derivada):    • LA DERIVADA: de la secante a la tangente, ...   Capítulos: 0:00 Las cuatro preguntas del examen 0:24 Las reglas del examen 0:45 ★ Dominio y composición 2:19 ★★ Tres límites, tres indeterminaciones 4:17 ★★ Discontinuidades, asíntotas y gráfica 6:05 ★★★ Parámetros para que sea continua 7:31 ★★★ Bolzano: dos cortes con la recta 8:40 Cuatro ideas Gradiente: el grado en Inteligencia Artificial, paso a paso. Teoría muy visual y ejercicios resueltos.