Находим максимальную высоту до соскальзывания лестницы: общее решение задачи о скользящей лестнице

В этой задаче о статическом равноверии человека, поднимающегося по лестнице, мы вычисляем максимальную высоту, на которую лестница не соскользнет. 🧠 Доступ к полным курсам перевернутой физики с видеолекциями и примерами на https://www.zakslabphysics.com/ Мы находим общее решение задачи о соскальзывании лестницы, учитывая массу лестницы, массу человека, угол наклона лестницы и коэффициент статического трения у основания лестницы как чисто символические величины. Мы начинаем с диаграммы сил, действующих на лестницу. Сначала мы рассматриваем силу тяжести, действующую вниз на центр масс лестницы. Затем мы включаем силу тяжести, действующую вниз в месте нахождения человека на лестнице (сила, действующая вниз на лестницу, равна весу человека). Лестница опирается на гладкую стену, которая способна создавать только горизонтальную нормальную силу, а на нижнем конце лестницы действуют сила трения и нормальная сила. Мы тщательно доказываем, анализируя силы в направлении оси x, что сила статического трения у основания лестницы должна быть направлена ​​вправо. Давайте на мгновение проанализируем качественно, почему лестница соскальзывает, если человек поднимается слишком высоко: вектор веса человека перемещается дальше вверх по лестнице, что увеличивает плечо рычага для момента силы, вращающегося по часовой стрелке относительно оси вращения в нижней части лестницы. Это требует увеличения нормальной силы, действующей со стороны гладкой стены, что, в свою очередь, требует увеличения силы статического трения в нижней части лестницы. В конце концов, человек может подняться достаточно высоко, чтобы превысить максимальную силу статического трения, и лестница соскользнет. Далее нам нужно вычислить перпендикулярную составляющую каждой силы, действующей на лестницу. Мы должны использовать наши предварительные знания о том, что угол между перпендикуляром и вертикалью равен углу наклона, чтобы получить перпендикулярную составляющую веса для лестницы и человека. Мы должны использовать внутренние накрест лежащие углы, чтобы найти перпендикулярную составляющую нормальной силы, действующей со стороны стены. Теперь мы готовы применить уравнения статического равновесия. Начнем с уравнения для результирующего момента силы. Суммарный крутящий момент относительно выбранной оси вращения (точки контакта с землей) должен быть равен нулю, а это значит, что крутящий момент по часовой стрелке равен крутящему моменту против часовой стрелки. Зная перпендикулярные компоненты каждой силы, действующей на лестницу, мы быстро записываем уравнение, выражающее тот факт, что сумма крутящих моментов равна нулю. Затем мы записываем уравнение для уравновешивания сил в горизонтальном направлении, и, наконец, уравнение для уравновешивания сил в вертикальном направлении. Теперь у нас есть система из трех уравнений и трех неизвестных, где неизвестными являются две нормальные силы, действующие со стороны стены и пола, и неизвестное расстояние x: местоположение человека в момент соскальзывания лестницы. Мы решаем эту систему методом подстановки и выделяем x, чтобы найти максимальную высоту человека до соскальзывания лестницы. Мы составляем наше окончательное решение, вынеся за скобки длину лестницы и добавив в скобки член, в котором каждая часть безразмерна. Это позволяет нам убедиться, что единицы измерения окончательного ответа действительно являются единицами длины, и мы закончили!