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कक्षा 10 गणित | अध्याय 4: द्विघात समीकरण (Quadratic Equations) प्रश्नावली 4.3 – मूलों की प्रकृति (Nature of Roots) और श्रीधराचार्य सूत्र 1. द्विघात समीकरण का मानक रूप (Standard Form) द्विघात समीकरण का मानक रूप निम्नलिखित होता है: ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0) जहाँ a, b, और c वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers) हैं। 2. श्रीधराचार्य सूत्र (Quadratic Formula) द्विघात समीकरण के मूल (x) ज्ञात करने के लिए श्रीधराचार्य जी द्वारा दिया गया द्विघाती सूत्र: x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} पहला मूल (\alpha): \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} दूसरा मूल (\beta): \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} 3. विविक्तकर (Discriminant) द्विघात सूत्र में कड़ी (रूट) के अंदर की राशि b^2 - 4ac को समीकरण का विविक्तकर कहते हैं। इसे D से दर्शाया जाता है। D = b^2 - 4ac 4. मूलों की प्रकृति (Nature of Roots) विविक्तकर (D) के मान के आधार पर मूलों की प्रकृति तीन स्थितियों में तय होती है: स्थितिविविक्तकर (D = b^2 - 4ac)मूलों की प्रकृति (Nature of Roots)स्थिति 1D बड़ा है 0से (धनात्मक)दो भिन्न (अलग-अलग) और वास्तविक मूल होते हैं।स्थिति 2D = 0 (शून्य)दो बराबर (समान) और वास्तविक मूल होते हैं (x = -\frac{b}{2a}).स्थिति 3D छोटा है 0 से(ऋणात्मक)कोई वास्तविक मूल नहीं होता (मूल काल्पनिक होते हैं)। नोट: यदि D \ge 0 है, तभी मूलों का अस्तित्व होता है और हम श्रीधराचार्य सूत्र लगाकर मूल ज्ञात करते हैं। 5. उदाहरण (Example) प्रश्न: समीकरण 2x^2 - 4x + 3 = 0 के विविक्तकर (D) का मान ज्ञात कीजिए और मूलों की प्रकृति बताइए। हल: मानक समीकरण ax^2 + bx + c = 0 से तुलना करने पर: a = 2, b = -4, c = 3D = b^2 - 4ac D = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 D = 16 - 24 = -8 यहाँ D less than 0 (ऋणात्मक) है, अतः इस समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। #Hashtags #Class10Maths #NCERTMaths #QuadraticEquations #ShridharacharyaFormula #NatureOfRoots #BoardExamPreparation #UPBoardClass10