Линейная алгебра — 23.1: Почему 1 всегда является собственным значением марковской матрицы…

Каждая марковская матрица имеет лямбда = 1 в качестве собственного значения, определитель не требуется. В этом видео представлено краткое структурное доказательство: вычитаем единичную матрицу, наблюдаем, как суммы столбцов сводятся к нулю, и используем принцип транспонирования, чтобы заключить, что матрица является сингулярной. Попутно мы связываем левые нулевые пространства, правые нулевые пространства и смысл вектора стационарного состояния. Основные рассматриваемые понятия: Определение марковской матрицы: неотрицательные элементы и столбцы, сумма которых равна 1 Переформулировка утверждения «лямбда = 1 — собственное значение» как «матрица A - I является сингулярной» Почему суммы столбцов матрицы A - I равны нулю Строковый вектор (1, 1, ..., 1) как элемент левого нулевого пространства матрицы A - I Почему матрица и её транспонированная матрица имеют одинаковые собственные значения Зависимость от строк подразумевает зависимость от столбцов, что приводит к сингулярности Установившийся собственный вектор и почему он не равен (1, 1, ..., 1) Приложения: цепи Маркова, Google PageRank, популяция равновесие ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ ИСТОЧНИКИ МАТЕРИАЛОВ Источники для этого видео взяты с    • 24. Markov Matrices; Fourier Series