Première Spé. Mathématiques - Démonstration - La fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0

Dans cette vidéo, je vous propose une démonstration avec des rappels de cours concernant la non-dérivabilité de la fonction racine carrée en 0. Cette démonstration est au programme, elle est donc exigible en examen. Je vous invite à vous concentrer sur l'apprentissage des méthodes utilisées dans cette démonstration, et à vous entraîner à les mobiliser par et grâce à la résolution d'exercices. Je vous souhaite de bonnes révisions. Remarque : Cette démonstration s'inscrit dans le cadre du chapitre portant sur la dérivation et s'inscrit donc dans le thème d'Analyse du programme de la classe de première spécialité mathématiques. Sommaire de la vidéo: -00:02 - Présentation des objectifs du programme (présentation sommaire du Bulletin officiel), explication sur les notations, rappels de cours. -10:19 - Début de la démonstration au programme. Extraits pertinents du Bulletin officiel 2026 portant sur le programme de la classe de Première Spécialité Mathématiques: Thème - Analyse : Objectifs: L'étude de la dérivation distingue le point de vue local (nombre dérivé) et le point de vue global (fonction dérivée). Les fonctions étudiées sont toutes régulières et le nombre dérivé est introduit à partir de la perception intuitive de la limite du taux de variation. On n'en donne pas de définition formelle, mais on s'appuie sur: − des représentations graphiques fournies par les outils logiciels (calculatrice, tableur, logiciel de géométrie dynamique) ; − le calcul algébrique du taux de variation dans des cas qui s’y prêtent : fonctions du second degré, fonction inverse ; − le calcul numérique d’expressions ƒ (a + h) – ƒ (a), où h prend des valeurs proches de 0, faisant apparaitre une approximation linéaire, par exemple avec a = 1 et ƒ étant une des fonctions carré, inverse, racine carrée. Il est intéressant d'exploiter ces divers registres dans l'étude d'un même nombre dérivé. Taux de variation et nombre dérivé gagnent à être illustrés dans des contextes variés: -en géométrie, ils représentent la pente d'une sécante et la pente d'une tangente ; Chapitre - Dérivation: Contenus: Point de vue local: − Taux de variation. Sécantes à la courbe représentative d’une fonction en un point donné. − Nombre dérivé d’une fonction en un point, comme limite du taux de variation. Notation ƒ ’(a). − Tangente à la courbe représentative d’une fonction en un point, comme « limite des sécantes ». Pente. Équation : la tangente à la courbe représentative de ƒ au point d’abscisse a est la droite d’équation 𝑦 = ƒ (a) + ƒ ‘(a)(𝑥 – a). − Approximation linéaire : fonction affine tangente 𝑥 ↦ ƒ (a) + ƒ ‘(a)(𝑥 – a) et approximation de ƒ (a + h) par ƒ (a) + ƒ ‘(a)h. Point de vue global − Fonction dérivable sur un intervalle. Fonction dérivée. − Fonction dérivée des fonctions carré, cube, inverse, racine carrée. − Opérations sur les fonctions dérivables : somme, produit, inverse, quotient. − Pour 𝑛 dans ℤ, fonction dérivée de la fonction 𝑥 ↦ 𝑥^n − Fonction valeur absolue : étude de la dérivabilité en 0. Capacités attendues − Calculer un taux de variation, la pente d’une sécante. − Interpréter le nombre dérivé en contexte : pente d’une tangente, vitesse instantanée, cout marginal, etc. − Déterminer graphiquement un nombre dérivé par la pente de la tangente. Construire la tangente en un point à une courbe représentative connaissant le nombre dérivé. − Déterminer l’équation de la tangente en un point à la courbe représentative d’une fonction. − Calculer une valeur approchée de ƒ (a + h). − Dans des cas simples, calculer une fonction dérivée en utilisant les propriétés des opérations sur les fonctions dérivables. Démonstrations: − Équation de la tangente en un point à une courbe représentative − La fonction racine carrée n’est pas dérivable en 0 (*DÉMONSTRATION AU PROGRAMME de cette de VIDÉO*) − Fonction dérivée de la fonction carrée. Fonction dérivée de la fonction carrée, de la fonction inverse. Fonction dérivée d'un produit. Lien vers le Bulletin officiel 2026 du Ministère de l'Éducation nationale pour la classe de Première spécialité mathématiques : https://www.education.gouv.fr/sites/d... ©[Jordan Liebert] via www.canva.com;