10 Kétmintás u próba

A videó alapján a kétmintás u-próba (vagy kétmintás Z-próba) matematikai hátterét, feltételeit és a hipotézisvizsgálat menetét foglalhatjuk össze (0:00).  📊 Alapfeltételek és jelölésekA próba elvégzéséhez a következő feltételeknek kell teljesülniük: Normális eloszlás: Mindkét vizsgált valószínűségi változó (ξ és η) normális eloszlású (0:11).Függetlenség: A két valószínűségi változó független egymástól (0:37).Ismert szórások: A várható értékek (m₁ és m₂) ismeretlenek, de a szórások (σ₁ és σ₂) ismertek (0:24).Mintanagyság: Az első mintaelem-szám n₁, a második n₂ (0:52).  🧮 A próbastatisztikaAmennyiben a nullhipotézis igaz, a vizsgált próbastatisztika standard normális eloszlást követ (1:44). Kiszámítása a minták átlagainak (x̄ és η̄) különbségéből és az ismert szórásokból történik (1:57): \[u=\frac{\={x}-\={\eta }}{\sqrt{\frac{\sigma _{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{\sigma _{2}^{2}}{n_{2}}}}\] 📌 Hipotézisek és döntési tartományokA vizsgálat során α terjedelmű (szignifikanciaszintű) próbát adunk meg (1:14). A nullhipotézis (H₀) minden esetben az, hogy a két várható érték megegyezik (1:04): H₀: m₁ = m₂ (1:04) Az ellenhipotézistől (H₁) függően három esetet különböztetünk meg:  1. Kétoldali ellenhipotézis H₁: m₁ ≠ m₂ (1:04)Logika: Ha H₀ igaz, a minták átlagának különbsége közel lesz a nullához (3:01). Ha a kiszámított u statisztika abszolút értéke meghalad egy kritikus a értéket, elvetjük a nullhipotézist (3:19).Elfogadási tartomány: \(\vert{}u\vert{} \leq \Phi^{-1}(1 - \frac{\alpha}{2})\) (4:23).  2. Bal oldali ellenhipotézis H₁: m₁ m₂ (1:31)Logika: Ekkor a x̄ - η̄ különbség várhatóan negatív irányba tér el a nullától (5:19).Elfogadási tartomány: u ≥ Φ⁻¹(α) (ahol a kritikus érték egy negatív szám) (5:47).  3. Jobb oldali ellenhipotézis H₁: m₁ m₂ (1:31)Logika: Ekkor a különbség várhatóan pozitív irányba mozdul el a nullához képest (6:40).Elfogadási tartomány: u ≤ Φ⁻¹(1 - α) (6:52).