Initiation à l’algèbre Partie 7 Équipotence entre deux ensembles ( TV 1969)

En mathématiques, l’équipotence est une relation entre ensembles, selon laquelle deux ensembles sont équivalents lorsqu'il existe une bijection entre eux. Cette notion permet de définir la cardinalité, c'est-à-dire le nombre d'éléments d'un ensemble, qu'il soit fini ou infini. La subpotence est une relation plus faible, satisfaite lorsqu'il existe une injection entre deux ensembles. Elle permet de définir une comparaison de taille entre les ensembles, sans présupposer la construction des nombres cardinaux. Deux ensembles E et F sont dits équipotents s'il existe une bijection de E sur F, c'est-à-dire une application pour laquelle tout élément de F admet un unique antécédent. Un ensemble E est dit subpotent à un ensemble F s'il existe une injection de E dans F, c'est-à-dire une application pour laquelle aucun élément de F ne peut avoir plusieurs antécédents. Un ensemble E est dit strictement subpotent à à un ensemble F quand il existe une injection de E dans F; mais pas d'injection de F dans E ou, de façon équivalent par le théorème de Cantor-Bernstein, pas de bijection entre E et F. Si E est subpotent à F , il existe une surjection de F dans E, mais la réciproque demande l'axiome du choix.