東工大の不等式、平均を入れたら一行で解けた。【イェンゼン×テイラー／大学数学無双 #24】

東工大の不等式、平均を一回入れるだけで証明できる？ 1990年・東京工業大学の問題を、イェンゼンの不等式でまず一気に解きます。その一行を、自分で証明できるところまで。 大学数学で無双する高校数学 #24。 鍵は「平均のまわりでテイラー展開すると、一次の項が消える」こと。 凸性を接線・弦の図で捉え、テイラーの剰余項の符号からイェンゼンを導きます。剰余項の公式自体もロルの定理を二回使って確認し、最後は補題→イェンゼンの証明→問題への適用→等号条件まで、記述答案の形へまとめます。 ▼動画内で紹介した過去回 第4回｜接線・弦・凸性で不等式を攻略    • 【大学数学で無双する高校数学 #4】 難関大の不等式を裏技で瞬殺   第1回｜テイラー展開で三角関数の極限    • 【大学数学で無双する高校数学 #1】 テイラー展開で極限を秒殺してみたwwwwwww   第2回｜対数を含む積分極限    • 【大学数学で無双する高校数学 #2】 東大数学ですら大学数学の暴れっぷりがヤバい   【チャプター】 00:00 東工大1990をイェンゼンで実演 00:34 凸性と平均の意味 01:04 テイラー展開と過去回への接続 01:27 有限の公式とラグランジュの剰余項 02:09 平均で展開してイェンゼンを証明 02:34 ロル二回で剰余項の公式を証明 03:17 最後に記述答案を作る 04:00 等号条件 【今回の問題】 nを正の整数とし、x₁,…,xₙ は正の実数、x₁+…+xₙ=k とする。 Σ[i=1,…,n] xᵢ log xᵢ ≧ k log(k/n) を証明せよ。 logは自然対数。等号は x₁=…=xₙ=k/n のとき。 【条件の確認】 今回は、区間上で二回連続微分可能な関数の場合を証明します。一般の凸関数には微分できないものもあります。 有限のテイラー公式と剰余項による厳密な等式を使い、無限級数の収束を仮定しません。剰余項の中間点ξは各入力ごとに異なって構いません。 【掲載資料】 東京工業大学1990年前期第2問 問題再掲：柳田五夫『初等的な不等式 I（問題）』1.5・問3 https://izumi-math.jp/I_Yanagita/emat... テイラーの定理の参考：東京都立大学講義資料 https://tmu-kurata.fpark.tmu.ac.jp/le... ▼前回：チェザロ平均で、東大・慈恵医大の極限を解く    • 東大数学の極限の難問を大学数学で瞬殺！？ 【高校生でも分かるイプシロンデルタ論法】   定理名を知るだけでなく、使える理由まで。 次に見たい大学数学の道具があれば、コメントで教えてください。 #大学数学無双 #イェンゼンの不等式 #テイラー展開 #東工大数学 #凸関数