Бесконечно много путей сходятся, а предела ВСЁ РАВНО нет | Пределы функций многих переменных

Тест двух путей может доказать только то, что многомерный предел не существует. Чтобы доказать его существование, нам нужна теорема о сжатии. Мы будем использовать оба метода. 📚 Хотите больше практики в доказательстве существования предела? Это есть в разделе «Частные производные» моего полного курса по математическому анализу 3, а также сотни других практических задач: https://courses.kristakingmath.com/li... В курсе математического анализа 1 предел существовал, когда левый и правый пределы совпадали. На поверхности больше нет левого и правого путей. Существует каждый возможный путь в точку, и все они должны совпадать, что является проблемой, потому что мы не можем проверять бесконечно много путей по одному за раз. Поэтому мы начнем с поверхности, будем двигаться к началу координат вдоль оси x, а затем вдоль оси y, и окажемся на двух разных высотах над одной и той же точкой, чего уже достаточно, чтобы сказать, что предел не существует. Затем мы попробуем вторую поверхность, где каждая прямая, проходящая через начало координат, ведет к одной и той же высоте, а одна парабола ведет в другое место. Другими словами, проверка путей, даже бесконечного множества, всегда доказывает лишь несуществование предела. Чтобы доказать его существование, нам нужен другой инструмент, и здесь на помощь приходит теорема о сжатии. В заключение мы применим её к третьей функции, чтобы показать, что её предел действительно существует. 📄 Бесплатные конспекты для этого урока: https://notes.kristakingmath.com/mult... 📋 Разделы 0:00 Два пути, одна и та же точка, две разные высоты 0:26 Чтение поверхности вдоль оси x и оси y 1:09 От пределов из курса математического анализа 1 до пределов для многомерных систем 2:02 Почему предел не существует 2:28 Больше путей, чем все прямые линии одновременно 3:25 Критерий двух путей 3:39 Новая поверхность, где все прямые линии совпадают 5:08 Парабола, которая не совпадает 5:47 Главная идея: пути могут только опровергнуть предел 6:29 Доказательство существования предела с помощью теоремы о сжатии 8:40 Наши два инструмента: критерий двух путей и теорема о сжатии #calculus3 #multivariablecalculus #limits