Crashkurs Algebra: (3.3) Algebraische und endliche Körpererweiterungen. Minimalpolynom, Gradsatz

Wie bestimmt man das Minimalpolynom eines algebraischen Elementes? Wie unterscheidet man eine algebraische von einer transzendenten Körpererweiterung? Was versteht man unter dem Grad einer Körpererweiterung? All diesen Fragen gehen wir in diesem Video nach und formulieren die wichtigsten Sätze, die wir größtenteils auch beweisen - immer ausführlich und so nachvollziehbar wie eben möglich, mit vielen konkreten (Rechen-)Beispielen als Motivation. Schaut euch - neben den vorhergehenden Videos der Reihe "Crashkurs Algebra" - bei Bedarf auch gern folgende Videos an:    • Algebra: Konstruktion endlicher Körper. Ir...      • Körperisomorphismus im Matrizenring (Algeb...   ...und die Umsetzung von alledem in Stoff der LA 1:    • Klausur LA 1 (WiSe 24/25): Induktion, Matr...   ========= 00:00 - Intro 1:09 - Was ist eine Körpererweiterung? 3:56 - Beispiel 1: C/R 4:29 - Beispiel 2: Q(√d)/Q 6:31 - Beispiel 3: Q(∛2)/Q 8:27 - Beispiel 4: K(X)/K Algebraische und transzendente Elemente. Das Minimalpolynom 10:17 - Algebraische und transzendente Elemente (erst beispielhafte Erklärung, dann Definition) 14:44 - Beweis, Anfang: p ≠ 0 gradminimal mit p(a) = 0 ⇔ p ist Erzeuger des Ideals {q € K[X] | q(a)=0} 20:57 - Lemma: ⟨p, q⟩ = ⟨ggT(p,q)⟩ 23:38 - Beweis, Fortsetzung: p ≠ 0 gradminimal mit p(a) = 0 ⇔ p ist Erzeuger des Ideals {q € K[X] | q(a)=0} 30:59 - Definition: Das Minimalpolynom 33:55 - Algebraische und transzendente Körpererweiterungen 35:49 - Beispiel 1: C/R 38:23 - Beispiel 2: Q(√d)/Q 40:07 - Beispiel 3: Q(∛2)/Q Minimalpolynom und Irreduzibilität 44:19 - Proposition: Minimalpolynome sind irreduzibel 47:39 - Korollar: p € K[X] normiert und irreduzibel mit p(a)=0 ⇔ p ist das Minimalpolynom von a über K 50:56 - Erinnerung: p € K[X] mit Grad(p) € {2, 3}, p nullstellenfrei ⇒ p irreduzibel 53:44 - Konkrete Bestimmung eines Minimalpolynoms am Beispiel von √2+√3 Körper als Vektorräume. Basis und Dimension 1:04:20 - Beobachtung: Für eine Körpererweiterung L/K ist L ein K-Vektorraum (Die Überschrift im Video hat sich ein wenig verirrt, endliche Erweiterungen kommen eigentlich erst später und außerdem muss es "B Teilmenge L" heißen statt "B Teilmenge K" - sorry dafür!) 1:07:14 - Beispiel 1: C/R 1:08:25 - Beispiel 2: Q(√d)/Q 1:09:11 - Beispiel 3: Q(∛2)/Q (sehr ausführlich) 1:22:12 - R als Q -Vektorraum Charakterisierung einfacher Körpererweiterungen 1:27:33 - Teil 1: Für a transzendent ist K(a) isomorph zu K(X) 1:40:30 - Teil 2.1: Für a algebraisch ist K(a)=K[a] und K(a) isomorph zu K[X]/⟨μₐ⟩ 2:01:32 - Teil 2.2: Es ist dann (1, a, a², ..., aⁿ´¹) eine K-Basis von K(a). 2:11:17 - Beispiel 1: C/R 2:12:36 - Beispiel 2: Q(√d)/Q 2:13:03 - Beispiel 3: Q(∛2)/Q Endliche Körpererweiterungen 2:14:32 - Definition und einige Eigenschaften 2:19:38 - Beweis (3): Endliche Erweiterungen sind algebraisch 2:24:02 - Beweis (4): "Satz von der tensorierten Basis" 2:34:08 - Beweis (5): Gradsatz 2:44:27 - Basis und Gradsatz: Beispiel (auf Basis von Beispiel 1 und 2) 3:20:00 - Basis und Gradsatz: Beispiel (auf Basis von Beispiel 3) 3:33:38 - Satz vom primitiven Element 3:37:21 - Beispiel: √2+√3 3:41:23 - Der algebraische Abschluss von K in L 3:45:17 - Bemerkung: Endliche Körper haben Primzahlpotenzordnung 3:57:07 - Abspann ========= Five Armies by Kevin MacLeod is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 license. https://creativecommons.org/licenses/... Source: http://incompetech.com/music/royalty-... Artist: http://incompetech.com/