【0.693が3.14に!?】順番どおりに足すと0.693…なのに、並べ替えるだけで円周率になる無限の足し算｜リーマンの再配列定理

1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + … は、順番どおりに足すと log 2（約0.693）に近づきます。 ところが、同じカードを並べる順番だけ変えると、和を π にも、0 にも、どんな数にもできます。 プラスの項だけ足すと +∞、マイナスの項だけ足すと −∞（∞ − ∞ の形）なのに、1枚ずつは 0 に近づく。だから、並べ方で止まる所を選べるのです。 この「リーマンの再配列定理」を、高校数学（数Ⅲの極限・無限等比級数・積分）で確かめます。 ・無限の足し算の答えは、前から足した和が近づく先 ・1 + 1/2 + 1/3 + … が ∞ になるわけ ・π を超えるまで赤（プラスのカード 1, 1/3, 1/5, …）、超えたら黒（マイナスのカード −1/2, −1/4, …）。最初に π を超えるのは赤76枚目。π とのずれが 0.00005 より小さいまま続くのは、約135万枚目から ・1 − 1/2 + 1/3 − … ＝ log 2 を積分で確かめる ・赤 p 枚・黒 q 枚のくり返しの和は log 2 + ½ log(p/q)。赤1枚・黒4枚ならちょうど 0 ・並べ替えても和が変わらない「絶対収束」と、そのわけ ・平面の矢印を並べ替えると（大学の数学） 【もくじ】 0:00 イントロ 1:02 無限の足し算 1:48 無限大ひく無限大 3:03 円周率にする並べ方 4:09 どんな数にでも 5:09 ログ2になるわけ 5:34 規則正しい並べ方 7:11 並べ替えても変わらない和 8:11 平面で並べ替えると 9:07 まとめ 【補足】 ・∞ − ∞ は、値が決まらない形（不定形）です。「π＝∞−∞」は、どう並べるかを決めて初めて意味を持つ式です。 ・定理の条件は、項が 0 に近づくことと、プラスの項だけの和が +∞、マイナスの項だけの和が −∞ になることです（条件収束する級数は、この条件を満たします）。1 − 1 + 1 − 1 + … のように項が 0 に近づかないものは、この定理の外です。絶対値をとって足しても有限になる級数（絶対収束）は、どう並べ替えても和は変わりません。有限個の足し算も、順番で和は変わりません。 ・リーマンが1854年ごろ、大学で教える資格（教授資格）をとるために書いた論文「三角級数による関数の表示可能性について」に、条件収束する級数は並べ替えでどんな値にもできる、という話が出てきます。リーマンの死後、1867年にデデキントが出版しました。リーマン自身が書いたのは、決まった有限の値にできる部分です。∞ にする並べ方、どこにも近づかない並べ方まで含めた形は、のちの教科書でまとめられた形です。 ・交互の級数を並べ替えると和が変わる例と、絶対収束なら順番によらないことは、1837年にディリクレが述べています。 ・赤 p 枚・黒 q 枚の式は、1 + 1/2 + … + 1/n − log n がオイラーの定数 γ ＝ 0.5772… に近づくことから導けます。π になる比 e^{2π}/4 ＝ 133.87… は有理数ではない（e^π が超越数であることから）ので、どんな整数の比 p:q でも和はぴったり π にはなりません。 ・平面のベクトルの級数は、どこかに近づく並べ方が1つでもあれば、並べ替えて届く和の集まりが、1点・直線・平面全体のどれかになります（レヴィ 1905年、シュタイニッツ 1913年）。動画の矢印の例で、順番どおりの和は (−½ log 3, π/6) です。 【参考】 B. Riemann「Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe」（教授資格論文、1867年出版） https://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath... P. G. L. Dirichlet「Beweis des Satzes, dass jede unbegrenzte arithmetische Progression …」（1837） https://sites.math.rutgers.edu/~alexk... K. Knopp「Theory and Application of Infinite Series」 https://archive.org/details/theoryand... P. Lévy「Sur les séries semi-convergentes」（1905） https://www.numdam.org/item/NAM_1905_... Riemann series theorem（Wikipedia） https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann... Lévy–Steinitz theorem（Wikipedia） https://en.wikipedia.org/wiki/L%C3%A9... 【クレジット】 VOICEVOX：ずんだもん、四国めたん 立ち絵：坂本アヒル 様 #リーマンの再配列定理 #高校数学 #数学 #無限級数 #円周率