Доминирующие тройки и задача о шахматном турнире | Комбинаторика для олимпиад

Существует более короткое решение этой проблемы. Мы проигнорируем его и вместо этого посчитаем что-то другое — и этот обходной путь учит больше, чем короткий. Проблема. В шахматном турнире с n игроками каждый игрок играет с каждым другим игроком ровно один раз. Кто-то выигрывает, кто-то проигрывает, ничьих нет — поэтому каждый игрок играет n − 1 партий. Если игрок i заканчивает турнир с w(i) победой и l(i) поражением, покажите, что w(1)² + w(2)² + ... + w(n)² = l(1)² + l(2)² + ... + l(n)². Второе решение рассматривает тройки игроков. Три игрока играют три партии между собой, и эти три победы делятся либо как 1 + 1 + 1, либо как 2 + 1 + 0. Назовем случай 2 + 1 + 0 доминирующей тройкой. Подсчитайте доминирующие тройки двумя способами — один раз по победителю, один раз по проигравшему — и тождество выяснится. Попутно рассматриваются: двойной подсчет, разбиение на взаимоисключающие и исчерпывающие случаи, а также биекция, которую можно увидеть, а не вычислить. Это второе из двух видео по одной и той же задаче. Если вы не видели первое решение, посмотрите его сначала — суть в двух видео вместе. Для кого это предназначено: для учащихся 8-12 классов и студентов, готовящихся к вступительным экзаменам в AMC, AIME, IOQM, RMO, CMI и ISI, или для всех, кому нравится простой подсчет. РАЗДЕЛЫ 0:00 Зачем нужно второе решение? 0:33 Задача, еще раз 1:44 Цель: Σw² = Σl² 2:00 Новый объект: тройки игроков 2:35 Три игры, два способа разделить выигрыши 3:30 Доминирующая тройка 3:44 В скольких тройках P₁ является доминантным? 4:58 Пример решения с пятью игроками 6:14 Суммирование. Мы выбираем 2 из всех игроков 7:31 Взаимоисключающие и исчерпывающие подсчеты 7:55 Подсчет проигрышей 8:56 Биекция: победители ↔ проигравшие 9:56 Алгебра: раскрыть, сократить, готово 11:19 Почему более длинное решение того стоило ПОПРОБУЙТЕ САМИ Сделайте паузу на 6:14, перед тем как будет записана сумма. Можете ли вы одним предложением объяснить, почему ни одна тройка не считается дважды? Это предложение — всё доказательство. О CHEENTA Академия Cheenta проводит программы для школьников и студентов в небольших группах по математике, физике, информатике и исследованиям. Математическая олимпиада, физическая олимпиада, олимпиада по информатике, исследовательские проекты и проекты по развитию лидерских качеств — подробности и запись по ссылке ниже. https://www.cheenta.com #математическаялимпиада #комбинаторика #двойнойсчет #IOQM #AMC #cheenta