Верхний и нижний пределы

Мы объединяем все последовательные пределы в единое множество и берем его супремум и инфимум, определяя верхний предел (lim sup) и нижний предел (lim inf). Отсюда мы доказываем два свойства, которые определяют верхний предел: некоторая подпоследовательность действительно достигает его, и члены в конечном итоге оказываются ниже любого большего значения. Нижний предел точно отражает его. В результате получается четкий тест на сходимость — последовательность сходится точно тогда, когда ее верхний и нижний пределы совпадают, без необходимости заранее угадывать предел.