Mini-cours sur les groupes cycliques

Partie I. On introduit les groupes cycliques, d'une manière un peu grossière (comme groupe isomorphe à Z/nZ, puis, de manière plus abstraite (groupe fini monogène). On donne ensuite quelques exemples (et contre-exemple) de groupes cycliques dans la nature. Partie II. Nous allons montrer une propriété d'hérédité des groupes cycliques: tout sous-groupe d'un groupe cyclique est lui-même cyclique. Mieux, pour tout diviseur de n, il existe un unique sous-groupe (cyclique) de Z/nZ d'ordre d. On exploite ensuite cette propriété pour établir une formule sur la fonction d'Euler, puis pour donner une caractérisation des groupes cycliques par le nombre de ses éléments d'ordre fixé. Partie III. On déduit de la caractérisation des groupes cycliques par leur nombre d'éléments d'ordre fixé, que tout sous-groupe fini du groupe multiplicatif d'un corps est cyclique. On illustre ceci avec la conjecture d'Artin sur les générateurs de ((Z/pZ)^*,x)$. On montre ensuite le rapport avec le nombres premiers dits "longs", c'est à dire les nombres premiers p tels que l'écriture décimale de 1/p est de période p-1. Partie IV. On attaque le problème des actions de groupes cycliques. Dans un premier temps, on donne toutes les actions d'un groupe cyclique sur un ensemble fini n. Puis, on donne des exemple d'actions impliquées dans des théorèmes célèbres (lemme de Cauchy, loi de réciprocité quadratique, collier de perle). Ces actions sont juste évoquées, et non pas détaillées. Offrez-moi un café sur buymeacoffee.com/phil.caldero #Mathématiques #Algèbre #AlgèbreLinéaire #Arithmétique #Géométrie #Agrégation #AgrégationDeMathématiques #PrépaAgrégation #MathsSupérieures #Université #LicenceMaths #MasterMaths