Функциональный анализ_18. Приложение_18.03. Что может не выполняться при отсутствии ограниченност...

Пусть $X$ — нормированное векторное пространство, и пусть $P:X\to X$ — линейное пространство с $P^2=P$. \begin{enumerate} \item[(i)] Покажите, что если $P$ ограничено, то $\operatorname{ran}P$ и $\ker P$ являются замкнутыми подпространствами $X$. \item[(ii)] Приведите пример неограниченной проекции $P$ на банахово пространство $X$ такой, что $\operatorname{ran}P$ не является замкнутым. \item[(iii)] Приведите пример, показывающий, что если $X$ не является банаховым пространством, то алгебраическое разложение на замкнутые подпространства не приводит к ограниченности соответствующей проекции.