Cours articulé de mathématiques — Méthode 6 : utiliser les probabilités totales (chapitre 20)

Comment calculer la probabilité de pile quand la pièce lancée est tirée au hasard dans un sac ? Film sur l'étude 6 (méthode, niveau deux étoiles) du chapitre 20 « Dénombrement et probabilités » du Volume I du Cours articulé de mathématiques : la méthode du livre (si les B_i forment une partition, c'est-à-dire des événements incompatibles deux à deux, de réunion l'univers, de probabilités strictement positives, alors P(A) = Σ P(B_i) P(A | B_i) ; un arbre pondéré transforme la formule en somme de produits de chemins ; formule démontrée à l'article 147), le problème (un sac avec deux pièces équilibrées et une pièce truquée, pile à 80 % ; une pièce tirée au hasard, puis lancée ; P(pile) ? et, sachant pile, la probabilité que la pièce soit la truquée ?) avec un temps pour essayer, puis les étapes construites à l'écran, les arbres et les barres dessinés à l'échelle : (a) la partition B₁ équilibrée, B₂ truquée, avec P(B₁) = 2/3 et P(B₂) = 1/3, puis P(pile | B₁) = 1/2 et P(pile | B₂) = 4/5 ; (b) l'arbre pondéré, les chemins 1/3 et 4/15 (voies incompatibles, on additionne), P(pile) = 9/15 = 3/5 = 0,6, contrôle : les quatre feuilles ont pour somme 1 ; (c) le théorème de Bayes (démontré à l'article 150) : P(truquée | pile) = (1/3 × 4/5) / (3/5) = 4/9 ≈ 0,444, contre 1/3 avant le lancer, sans confondre P(pile | truquée) = 4/5 avec P(truquée | pile) = 4/9 ; contrôle : P(équilibrée | pile) = 5/9 et 5/9 + 4/9 = 1. Puis le récapitulatif des six méthodes du chapitre (combinaisons, opérations sur les événements, arbre pondéré, loi binomiale, Bayes, probabilités totales), et le lien avec l'article 150 : 150.2 (probabilités totales) et 150.3 (théorème de Bayes), tous deux démontrés. La solution imprimée n'est pas montrée : à vous de comparer avec le livre. 0:00 La question : la probabilité de pile ? 0:23 La méthode, dans le livre 0:55 Le problème, puis à vous 1:17 Étape (a) : la partition 1:44 Étape (b) : l’arbre pondéré, P(pile) 2:22 Étape (c) : le théorème de Bayes 3:16 Le récapitulatif des méthodes 3:56 Le lien avec l’article 150 📖 Source : étude 6 (méthode) du chapitre 20 : paragraphe de méthode, énoncé et étapes (a) à (c), récapitulatif des méthodes ; article 150 : 150.2 (probabilités totales) et 150.3 (théorème de Bayes) ; article 147 pour la démonstration de la formule. Prochain épisode : expédition 1, le problème de Monty Hall. Extrait gratuit (l’ouverture, la table des matières et le chapitre 1 en entier) : https://clementinium.com/edition-2027... Le livre : https://clementinium.com/books/elements William de France · Éditions Clementinium