Линейный интеграл по кривой пересечения сферы и плоскости: с теоремой Стокса и без неё

В этом упражнении мы вычислим линейный интеграл y dx + z dy + x dz вдоль кривой пересечения двух поверхностей x² + y² + z² = 1 и x + z = 1. Я покажу вам три решения, каждое с разной настройкой. Метод 1: Переведем переменные x и z в u и v. Это преобразование упрощает параметризацию окружности. Мы вычисляем векторный линейный интеграл напрямую. Метод 2 (лучший): Используем теорему Стокса в новой системе координат. Этот метод не требует параметризации, поскольку ротор постоянен, а область определения имеет удобную геометрическую площадь, которую мы можем распознать. Кстати, когда я параметризую поверхность как r(u,v) (демонстрация для получения нормальной векторной формы), u не связана с моей сдвинутой переменной u. Извините! Метод 3: Решим непосредственно в исходных координатах. Мы параметризуем кривую по x, y, z и используем теорему Стокса. В конце не нужно записывать параметрическую кривую r(t) (радиус можно определить по линии выше), но один из студентов спросил меня о параметризации, поэтому я её включил. Приятного чтения! #математика #математика #математика #линейныйинтеграл #векторноеисчисление #теоремастокса #математическийучебник #поверхностныйинтеграл #iitjam #iitjammathematics #многомерноеисчисление #исчисление