Analisi Matematica I: limiti successioni, teoremi su relazioni d'ordine e operazioni R esteso. (L7)

In questa lezione affrontiamo i teoremi fondamentali sui limiti delle successioni e le loro proprietà d'ordine. Nella prima parte analizzeremo il Teorema del Confronto, il Teorema di Permanenza del Segno, il Teorema dei Due Carabinieri e il Teorema del Carabiniere Isolato, completi delle relative dimostrazioni ed esempi applicativi. Studieremo inoltre il limite della successione esponenziale al variare del parametro a. Nella seconda parte introduciamo l'algebra delle successioni, estendendo le operazioni fondamentali all'insieme dei numeri reali estesi per trattare rigorosamente i casi non definiti in R. Analizzeremo nel dettaglio i teoremi sul limite della somma, del prodotto, del reciproco e del quoziente (con un focus sulle successioni infinitesime), per poi concludere con un quadro completo sulle forme indeterminate. Timestamps: 00:00 – Teorema del confronto con dimostrazione 11:01 - Teorema del confronto con una seconda successione costante 14:31 - Teorema di permanenza del segno con dimostrazione 22:06 - Teorema dei due carabinieri: dimostrazione ed esempio 28:18 - Teorema del carabiniere isolato: cenno di dimostrazione ed esempio 33:20 - Successioni esponenziali: definizione e studio del limite al variare di a 52:13 - Operazioni tra successioni: definizione 56:58 - Esempio di operazione e problemi in R 01:00:56 - Estensione delle operazioni a R 01:06:00 - Teorema sul limite della somma con dimostrazione 01:12:27 - Teorema sul limite del prodotto con dimostrazione 01:22:41 - Teorema sul limite del prodotto conoscendo il comportamento di una successione, con dimostrazione 01:30:42 - Teorema sul limite del reciproco 01:34:16 - Ulteriori operazioni in R: il quoziente 01:37:00 - Successioni infinitesime e reciproco: teorema sul limite 01:39:52 - Teorema sul limite del quoziente 01:41:59 - Riepilogo delle forme ottenute nei vari teoremi 01:42:15 - Teorema sul quoziente e sul segno del rapporto tra successioni 01:44:52 - Forme indeterminate 01:46:39 - Esempio conclusivo Appunti (Drive): https://drive.google.com/drive/folder... Testo di riferimento: Elementi di analisi matematica (Vol. 1) - Giulio Cesare Barozzi, Giovanni Dore, Enrico Obrecht