Инверсия метрик: точные границы неравенства Рехта-Ре

Какая схема выборки лучше: выборка точек данных с замещением, их перетасовка в каждую эпоху или выбор одной перетасовки и её повторное использование? Это звучит как простая задача ранжирования. Но это не так. Ответ может измениться, если мы изменим значение слова «лучше». Этот новый релиз Evidence Press начинается с матричного неравенства Рехта-Ре, некоммутативного аналога принципа арифметико-геометрического среднего. В первой статье дается точная, компьютерная классификация в кратком изложении. При четырех факторах двустороннее неравенство выполняется для каждой допустимой размерности. При пяти факторах верхняя граница всегда выполняется, в то время как нижняя граница резко нарушается в пятимерном пространстве и возвращается начиная с шестимерного. Для шести факторов в релизе доказываются существенные семейства делимости, оставляя при этом полную классификацию открытой. Вторая статья превращает этот исключительный пример с пятью факторами в более широкую теорию динамики выборки. Вот центральная идея. Ожидаемая итерация и ожидаемый квадратичный риск регулируются разными операторами. Один из них использует пропагатор среднего. Другой алгоритм использует канал Грама. Поскольку эти объекты сохраняют различную информацию, они могут ранжировать один и тот же алгоритм противоположным образом. В семействе сертифицированных рациональных алгоритмов перетасовка случайных чисел выглядит хуже с точки зрения нормы ожидаемой итерации, но лучше с точки зрения инвариантного сравнения Грама. Это преимущество Грама перед выборкой с заменой сохраняется для каждого положительного числа эпох. Затем в релизе сравнивается перетасовка случайных чисел с одиночной перетасовкой, где один случайный порядок выбирается один раз и используется повторно. В конечной точке обе схемы совпадают после одной эпохи, но одиночная перетасовка строго лучше в соответствующем порядке Лёвнера на каждом последующем горизонте. Результат также сохраняется в пределах одной открытой окрестности конечной точки. Существуют также явления точного перехода. На двух и трех эпохах ранжирование одиночной перетасовки меняется при определенных размерах внутреннего шага. Усреднение реплик имеет свой собственный точный переход, показывающий, как независимые траектории интерполируют между смещением и дисперсией. Эти выводы намеренно учитывают метрики. Они не утверждают, что какая-либо схема выборки является универсально лучшей. Они применимы к заявленным семействам матриц, целям, протоколам, размерам шагов, конусам и временным горизонтам. Измените вопрос, и рейтинг может измениться. Пакет доказательств необычайно подробен. Он включает в себя как рукописи, так и сертификаты точных рациональных значений, символические и стандартные библиотечные пути верификации, проверки характеристических полиномов, аргументы моста и хвоста, контроль мутаций, манифесты, контрольные суммы и чистое воспроизведение архива как в обычном, так и в оптимизированном Python. Это убедительное доказательство внутренней согласованности и идентичности артефактов. Это не рецензирование, не формальная верификация и не независимое воспроизведение. Таким образом, определяющий посыл носит методологический характер: исследования в области оптимизации должны прекратить задавать вопрос о том, какой сэмплер «лучший», не называя функционал оператора, метрику риска, протокол случайности, класс экземпляра и горизонт. Релиз открывает несколько направлений исследований: произвольные квадратичные цели, положительность блоков, доминирование симплексов всех длин, каналы симметрии более высоких размерностей, радиусы обусловливания и оставшиеся случаи шести факторов. https://evidencepress.org/releases/ex...