東大 数学専攻 院試 2019年度 専門A 第1問

東大 数学専攻 院試 2019年度 専門A 第1問の問題と解説です。 本動画では、合成関数のマクローリン展開・テイラー展開を利用して、複雑な関数の極限や微分可能性、さらに2次近似までを段階的に解析します。 ポイントは、複雑な合成関数を一気に扱うのではなく、「内側の関数を近似してから外側の関数へ進む」という流れです。まず対数関数の近似を求め、その結果を利用して二項展開を適用することで、極限値や微分係数を効率よく導きます。 最初の小問では0次近似に相当する情報から極限値を求め、次の小問では1次の項まで精密に調べることで、微分可能性と微分係数を確認します。最後の小問では2次近似へ進み、求める多項式の各係数を決定します。 誘導に沿って計算を進めることで、マクローリン展開を0次、1次、2次へと段階的に構築していく問題の意図が見えてきます。 東京大学大学院 数理科学研究科の院試対策として、極限、微分、テイラー展開、マクローリン展開、合成関数の近似を学びたい方にも参考になる内容です。 【キーワード】 マクローリン展開、テイラー展開、合成関数、極限、微分可能性、微分係数、二項展開、2次近似、関数の近似、東京大学大学院、東大院試、数学専攻、院試数学