sin²θ+cos²θ=1は三平方の定理と同じ式だから、1927年に『三角関数では証明できない』と書かれた。それを高校生2人が覆せた理由【解説】

sin²θ+cos²θ=1は、三平方の定理a²+b²=c²の両辺を斜辺の2乗で割っただけの式です。英語の教科書も、この公式をピタゴラスの恒等式と呼びます。同じ式だからこそ、1927年にElisha Scott Loomisは、三平方の定理の証明を集めた本に「三角法による証明はない」と書き、理由にsin²A+cos²A=1を挙げました。2009年にJason Zimbaは、三平方の定理を使わずにこの公式を導き、逆向きに三平方の定理へ戻りました。2023年にはアメリカの高校生、Calcea JohnsonとNe'Kiya Jacksonが正弦定理による証明を発表しました。なぜ2乗なのか、なぜ1なのかから、tanの公式、円の上の整数の三角形、ばねのエネルギーまで、論文と原典から読み解きます。 年と数は、2026年10月21日（日本時間）までに確認した各資料の値です。 ■ 目次 00:00 割るだけで出る公式 01:30 斜辺を1にそろえる 02:52 円の上の三平方の定理 03:38 なぜ2乗なのか 05:14 三角法で三平方の定理は証明できるか 06:57 2つの三角法 08:45 1にそろえる辺は選べる 09:22 円の上の分数 10:34 和が変わらないもの 11:33 書き直しただけ、の先 ■ 主な資料 Elisha Scott Loomis『The Pythagorean Proposition』第2版（1940年）、NCTMの1968年の復刻（ERIC ED037335）244ページ https://eric.ed.gov/?id=ED037335 Jason Zimba「On the Possibility of Trigonometric Proofs of the Pythagorean Theorem」Forum Geometricorum 9（2009年） https://forumgeom.fau.edu/FG2009volum... Ne'Kiya Jackson、Calcea Johnson「Five or Ten New Proofs of the Pythagorean Theorem」The American Mathematical Monthly 131巻9号（2024年） https://www.tandfonline.com/doi/full/... アメリカ数学会 2023 Spring Southeastern Sectional Meeting 抄録「An Impossible Proof Of Pythagoras」（2023年3月18日） https://meetings.ams.org/math/spring2... Scientific American「2 High School Students Have Proved the Pythagorean Theorem. Here's What That Means」（2023年4月10日） https://www.scientificamerican.com/ar... ScienceDaily「Teens who made history with Pythagoras' theorem discovery publish their first academic paper with new proofs」（2024年10月28日） https://www.sciencedaily.com/releases... ユークリッド『原論』第1巻命題47（Heath訳、D. Wilkins版） https://www.maths.tcd.ie/~dwilkins/Eu... OpenStax Precalculus 2e 5.2 Unit Circle: Sine and Cosine Functions https://openstax.org/books/precalculu... OpenStax Precalculus 2e 7.1 Solving Trigonometric Equations with Identities https://openstax.org/books/precalculu... OpenStax University Physics Volume 1 15.2 Energy in Simple Harmonic Motion https://openstax.org/books/university... Wikipedia「Garfield's proof of the Pythagorean theorem」 https://en.wikipedia.org/wiki/Garfiel... Wikipedia「Diophantus II.VIII」 https://en.wikipedia.org/wiki/Diophan... Wikipedia「Euler's formula」 https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%2... Sci.News「Mathematicians Crack Mystery of Babylonian Clay Tablet Plimpton 322」 https://www.sci.news/archaeology/baby... Wikipedia日本語版「ピタゴラスの定理」（名称の節） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%... 金光三男ほか「教師に必要な数学的素養の育成」数理解析研究所講究録 第1828巻（2013年）105ページ https://hdl.handle.net/2433/194793 琉球新報デジタル「ピタゴラス定理を証明 豪州の数学誌に論文 沖縄数学アカデミー」（2025年12月18日） https://ryukyushimpo.jp/education/ent... 沖縄タイムス＋プラス「難問が解けた！ピタゴラスの定理を三角比使い証明 豪の専門誌に論文掲載へ」（2026年1月3日） https://www.okinawatimes.co.jp/articl... #三平方の定理 #三角関数 #ピタゴラスの定理 #数学 #高校数学