Amplitud, periodo y desplazamiento de fase de y = a sen(bx + c)

Cerramos las transformaciones de y = a sen(bx + c) con el último parámetro que faltaba: c, que desplaza la onda horizontalmente. La idea es la misma que usamos con el periodo. El seno completa un ciclo cuando su argumento recorre de 0 a 2π, así que en y = a sen(bx + c) un ciclo ocurre cuando bx + c va de 0 a 2π. Despejando x aparece el número −c/b: ahí empieza el ciclo, y eso es el desplazamiento de fase. Si es negativo, la onda se corre a la izquierda; si es positivo, a la derecha. Después aplicamos el teorema a tres ejemplos resueltos paso a paso, hacemos el camino inverso (hallar la ecuación de una onda mirando su gráfica) y terminamos con una aplicación real: una fórmula que modela el flujo de aire al respirar. 📌 CONTENIDO 0:00 Amplitud, periodo y desplazamiento de fase 0:06 La ecuación y = a sen(bx + c) 0:24 Un ciclo completo: despejamos x 0:52 El desplazamiento de fase −c/b 1:00 Desfase negativo: izquierda; positivo: derecha 1:20 El teorema 1:56 La forma y = a sen[b(x + c/b)] 2:10 Ejemplo 1: y = 3 sen(2x + π/2) 2:54 La gráfica y su ciclo 3:03 Ejemplo 2: y = −4 cos(2x + π/3) 3:46 La gráfica y el efecto del signo de a 4:08 Ejemplo 3: y = −sen(3x + π) − 1 4:51 El desplazamiento vertical: máximo y mínimo 5:16 Hallar la ecuación de una onda desde su gráfica 5:38 Amplitud y periodo leídos en la figura 6:14 El desplazamiento de fase y el valor de c 7:01 Otras ecuaciones para la misma gráfica 7:49 Solución alternativa 8:48 Aplicación: el ritmo de la respiración 10:00 La gráfica del flujo de aire 🔑 EL TEOREMA Para y = a sen(bx + c) o y = a cos(bx + c), con a y b distintos de cero: Amplitud: |a| Periodo: 2π/|b| Desplazamiento de fase: −c/b Un ciclo completo se obtiene resolviendo 0 ≤ bx + c ≤ 2π ✅ LOS EJEMPLOS y = 3 sen(2x + π/2): amplitud 3, periodo π, un ciclo en [−π/4, 3π/4] y = −4 cos(2x + π/3): amplitud 4, periodo π, un ciclo en [−π/6, 5π/6] y = −sen(3x + π) − 1: amplitud 1, periodo 2π/3, un ciclo en [−π/3, π/3] La onda de la figura: y = 5 sen(π/2 x + π/2) La respiración: F(t) = 0.6 sen(2π/5 t) ⚠️ EL ERROR MÁS COMÚN Leer el desplazamiento de fase como c, sin dividir entre b ni cambiar el signo. En y = 3 sen(2x + π/2) la onda no se mueve π/2 a la izquierda, sino π/4. La forma y = a sen[b(x + c/b)] lo deja a la vista: lo que se suma directamente a x es c/b, no c. 💡 UN DETALLE PARA LOS CURIOSOS En el ejemplo 3, −sen(3x + π) resulta ser igual a sen 3x. Sumar π al argumento lleva al punto diametralmente opuesto de la circunferencia unitaria, donde el seno cambia de signo, y el signo menos de afuera lo devuelve. Dos ecuaciones muy distintas, una misma gráfica. Lo mismo ocurre en el ejercicio de la figura: una onda admite infinitas ecuaciones, y por eso el problema exige condiciones para quedarse con una. ¿Qué otro fenómeno periódico te gustaría ver modelado con una onda? Cuéntame 👇 Suscríbete para más matemáticas y física explicadas paso a paso. #trigonometría #matemáticas #precálculo #desplazamientodefase #gráficas