Ferenci Tamás - Leképezés, lineáris leképezés, lineáris transzformáció

A lineáris algebra terén nagy jelentőséggel fog bírni az is, amikor valamilyen szabályszerűség alapján egy vektortér elemeinek (tehát vektorainak) megfeleltetjük egy másik vektortér elemeit. Ezt csakugyan úgy tesszük, ahogy azt egy függvénytől elvárjuk: minden elemhez rendelünk elemet, és nem fordulhat elő, hogy egy elemhez többet rendelünk. Ezt leképezésnek hívjuk, ha pedig speciálisan a két vektortér ugyanaz, akkor transzformációnak. Mi a továbbiakban csak egy bizonyos tulajdonsággal bíró leképezésekkel és transzformációkkal fogunk foglalkozni, ezeket úgy fogjuk hívni, hogy lineáris leképezés és transzformáció. Amennyiben a leképezés kölcsönösen is egyértelmű, azaz nem csak a kiindulási vektorhoz rendelhető egyértelműen hozzá a leképezettje, de az is egyértelműen megmondható, hogy egy vektor minek a leképezettje, akkor izomorfizmusnak hívjuk a leképezést. Ez azért nagyon fontos, mert ha két vektortér között létesíthető ilyen - ilyenkor azt is szokták mondani, hogy a két vektortér izomorf - akkor az bizonyos értelemben azt jelenti, hogy a két vektortér "ugyanaz" (csak az elemek és a műveletek más névvel vannak illetve). Itt megnézünk egy rendkívül fontos tételt, amit a koordinátázás kapcsán tulajdonképpen már szinte kimondtunk: azt, hogy minden n-dimenziós vektortér izomorf az R^n-nel. Ennél azonban több is igaz: minden n-dimenziós vektortér izomorf egymással! Ez egy nagyon mély megállapítás, hiszen azt mondja: egy vektorteret a dimenziója (ha létezik véges dimenziója) egyértelműen meghatároz. Ha megadok csak annyit, hogy hány dimenziós a vektortér, azzal lényegében (értsd: izomorfizmus erejéig) megadtam azt is, hogy mi a vektortér. Definiáljuk leképezések összegét, skalárszorosát és szorzatát is; látni fogjuk, hogy ezek mind lineárisak lesznek akkor, ha az eredeti leképezések is lineárisak voltak. Ezt követően megnézzük a lineáris leképezések egy rendkívül fontos tulajdonságát: azt, hogy bármely vektor leképezettje előállítható, ha mindössze annyit tudok, hogy a bázisvektoroknak mi a leképezettje. Azaz: mind a végtelen vektor leképezettje megkapható, mindössze n vektor leképezettjének ismeretében. Végezetül megnézünk egy később fontossá váló kérdést: a sajátérték-sajátvektor problémát, tehát azt, hogy egy lineáris transzformáció mikor rendeli egy vektorhoz pont a vektor skalárszorosát. Ez akkor is megtörténhet, ha a transzformáció nem a skalárral szorzás, később érdekes lesz, hogy mely vektoroknál, illetve mely skalároknál fordulhat ilyen elő. Ajánlott irodalom. Freud Róbert: Lineáris algebra (ELTE Eötvös Kiadó, 2004), 5. fejezet és 6.1 alfejezet. Tartalomjegyzék: 0:00 Bevezető gondolatok, leképezés 4:11 A lineáris leképezés 9:25 Lineáris transzformáció 10:10 Izomorfizmus, izomorf vektorterek 13:13 Azonos dimenziójú vektorterek izomorfiája 18:17 Műveletek leképezésekkel 22:24 Lineáris leképezések jellemzése a bázisok képével 28:55 Sajátérték, sajátvektor #LineárisAlgebra