Jak wykorzystać twierdzenie Darboux? Dowody, liczba rozwiązań i trygonometria

W tym filmie pokażę, jak wykorzystać twierdzenie Darboux do wykazywania istnienia rozwiązań równań. Dowiesz się, jak odpowiednio dobierać przedziały, sprawdzać znaki wartości funkcji i udowadniać, że równanie ma co najmniej dwa rozwiązania – bez konieczności ich dokładnego wyznaczania. Przeanalizujemy cztery zadania, w tym przykłady z wielomianami oraz funkcjami trygonometrycznymi. Zadanie 1: Wykaż, że wielomian W(x) = x⁴ + x² − x − 2 ma co najmniej dwa pierwiastki. Zadanie 2: Wykaż, że równanie 3x⁵ + 5x³ + 1 = 2x⁴ + 6x² + √2x ma rozwiązanie należące do przedziału (0, 1). Zadanie 3: Dana jest funkcja f(x) = cos(πx/3), x ∈ ℝ. Wykaż, że równanie f(x) = f(x + 1) ma w przedziale (2, 6) co najmniej dwa rozwiązania (nie rozwiązując tego równania). Zadanie 4: Wykaż, że równanie sin(πx/3) = 2⁻ˣ ma w przedziale (0, 3) co najmniej dwa rozwiązania. Źródło zadań: Kurczab, Kurczab, Świda – zbiór zadań, wydanie 2025. Kurczab, Kurczab, Świda – podręcznik, wydanie 2025.