Почему любая гладкая поверхность выглядит плоской вблизи | Ряд Тейлора в 2D, часть 1

Если достаточно сильно увеличить масштаб гладкой поверхности, она будет казаться плоской. В этом видео мы преобразуем эту идею в точную формулу — касательную плоскость, — начиная с уже известной вам касательной линии. Это первая часть из трех о рядах Тейлора в двух измерениях. Сегодня: приближение первого порядка. Далее: кривизна и гессиан. Затем: полный ряд Тейлора в 2D. Что мы рассмотрим: • Касательная как наилучшее линейное приближение, с численной проверкой • Частные производные как наклоны вдоль x и y • Построение касательной плоскости L(x, y) = f(a, b) + fₓ(x − a) + f_y(y − b) • Два примера с решением, включая то, как уменьшается ошибка при уменьшении шага вдвое • Почему одних только существующих частных производных недостаточно для построения касательной плоскости • Дифференцируемость и условие C¹ • Градиент: наибольшая восходящая траектория и перпендикулярность к линиям уровня Главы 0:00 Поверхность, которая вблизи выглядит плоской 1:22 Касательная линия в одном измерении 3:59 Частные производные 6:35 Построение касательной плоскости 9:08 Примеры с решением 12:13 Что на самом деле означает «касательная» 14:28 Градиент 16:27 Резюме и что дальше Ключевые слова касательная плоскость, линейное приближение, частные производные производные, градиент, дифференцируемость, ряд Тейлора для двух переменных, многомерный анализ, многочлен Тейлора первого порядка, Mathspark8