x²을 미분하면 왜 2x일까 | 외운 공식, 정사각형 하나로 보는 이유

한 변이 20 m인 정사각형 밭을 가로·세로 1 m씩 늘리면 넓이는 몇 m² 늘까요? 미분 공식 x² → 2x 대로면 넓이가 늘어나는 빠르기는 40, 그러니 40 m². 그런데 직접 세면 21 × 21 − 400 = 41 m²예요. 공식이 틀린 걸까요, 우리가 잘못 쓴 걸까요? 타일 바닥과 각설탕으로, 외운 규칙 «지수를 앞으로 내리고 하나를 뺀다»가 왜 맞는지 따라가 봐요. 이번 편의 한 문장은 「정사각형을 조금 넓히면 두 변을 따라 줄이 두 개 붙어서 x²의 미분은 2x다 — 모퉁이는 두 줄보다 훨씬 빨리 작아져 빠르기에 안 들어가고, 40은 변이 20 m인 그 순간의 정확한 빠르기다」예요. 📍 챕터 0:00 40과 41, 공식이 틀렸나? 0:59 두 줄과 모퉁이 한 장 1:27 각설탕 — 3이 내려온다? 2:01 덤은 왜 안 세나 2:40 처음의 규칙 3:11 처음의 밭 📌 이 편에서 다루는 것 · 20 m 밭을 1 m 늘리면 — 공식대로면 40 m², 직접 세면 41 m² · 타일로 세면 위 20장 + 오른쪽 20장 + 모퉁이 1장 — 공식의 2x는 두 줄 · 각설탕 정육면체(x³) — 판 세 장이 공식의 3 · 막대와 알갱이는 덤 · 늘린 길이를 10 cm, 1 cm로 줄이면 두 줄은 10배, 모퉁이는 100배씩 작아진다 — 늘어난 넓이 ÷ 늘린 길이 = 41 → 40.1 → 40.01 · 외운 규칙 다시 읽기 — «앞으로 내린다» = 늘릴 때 붙는 조각의 수 · «하나를 뺀다» = 나누면 x를 한 번 덜 곱한 크기 · 속도계 — 40은 변이 20 m인 그 순간의 정확한 빠르기, 틀린 건 그 빠르기를 1 m 내내 그대로 쓴 계산 · 다음 편 — 미분해도 자기 자신이 그대로 나오는 함수 ※ 뉴턴도 같은 셈을 했어요. 『구적론』(1704) 서론에서 x가 조금(o) 자라 x + o가 될 때 xⁿ이 늘어난 양을 o와 비교한 뒤, «그 늘어난 양을 사라지게 하면» 비가 1 대 nxⁿ⁻¹이 된다고 썼어요 — 지수를 앞으로 내리고 하나를 뺀 꼴이에요. 📚 출처 · I. Newton, Tractatus de Quadratura Curvarum(1704, 『광학』 부록) 서론 · J. Harris 영역(Lexicon Technicum, 1710) · D. R. Wilkins 편 https://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath... · 실사 장면(밭 · 타일 · 각설탕 · 손바닥 · 계기판)은 AI 이미지예요 🔗 앞 이야기 EP.01 자연수부터 복소수까지, 수의 지도 한 장 EP.02 허수는 상상이 아니라 방향입니다 EP.03 원 위를 π만큼 걸으면 반 바퀴입니다 EP.04 경사 100%는 45도입니다 EP.05 닮음 — 크기를 지우면 모양만 남습니다 EP.06 함수는 식이 아닙니다 EP.07 지수는 몇 번 곱하는 게 아닙니다 EP.08 지진 규모 1 차이, 흔들림은 왜 10배일까 EP.09 등호는 「답을 써라」가 아닙니다 EP.10 문자는 물건의 이름이 아닙니다 EP.11 그래프는 그림이 아닙니다 EP.12 피타고라스 정리는 그림입니다 EP.13 피타고라스는 평면에서 끝나지 않습니다 EP.14 원의 방정식은 공식이 아니라 한 문장입니다 EP.15 사인은 삼각형의 비율이 아니라 원의 높이입니다 EP.16 돈이 두 배 되는 시간은 자연상수 e가 정합니다 EP.17 지수함수는 갑자기 커지지 않습니다 EP.18 0.999…는 1에 가까운 수가 아니라 1입니다 EP.19 0으로 나눌 수 없는 건 금지라서가 아닙니다 EP.20 마이너스 곱하기 마이너스가 플러스인 건 정한 게 아니라 따라 나온 결과입니다 EP.21 소수가 끝없다는 건 세어 봐서 아는 게 아닙니다 EP.22 분수로 나눌 때 뒤집는 건 외울 규칙이 아닙니다 EP.23 분모끼리 더한 2/5, 야구장에선 정답입니다 EP.24 원의 넓이는 둘레 곱하기 반지름의 절반입니다 EP.25 짝수와 자연수는 똑같이 많습니다 EP.26 계기판의 바늘은 미분, 주행거리계는 적분입니다 — Mathiter 는 국제학교·유학 준비생을 위한 수학 학습앱입니다. https://mathiter.com #수학 #미분 #미분공식 #미적분 #수학개념