Матрицы вращения на плоскости (5/5): экспоненциальное отображение, формула Эйлера

В этом видео завершается изучение двумерных (плоских) матриц вращения и их «кинематики» путем введения «экспоненциального отображения», которое формализует идею о том, что «произведения» матриц вращения соответствуют «сложению» углов, так что углы являются своего рода «логарифмами вращений». В основном, двумерные матрицы вращения являются экспонентами кососимметричных матриц R(\theta)=exp(\theta J), где J — матрица J=[0, -1;1 0]. Далее, поскольку J^2=-I, т.е. кососимметричные матрицы возводятся в квадрат, кратный единице, она может работать «как если бы J была мнимой единицей». Фактически, в некотором смысле, она неотличима от мнимой единицы. Например, восстанавливается формула Эйлера: exp(J\theta)=\cos\theta+J·\sin\theta. Эта идея более подробно рассматривается в видео \videoref{imisMEN}. В основном, мнимой единицей является «ротор» в 2D. Формулу Эйлера можно изменить на I+J·\sin\theta+J^2·(1-\cos\theta), что будет корнем известной формулы Эйлера-Родригеса для 3D-вращений. В следующих видео будет рассмотрена «динамика», где появятся такие понятия, как «крутящий момент» и «момент инерции», см.    • Видео  , запланированное на ближайшие дни. ________________ PDF/код/заметки по адресу: https://personales.upv.es/asala/YT/V/... #робототехника #теорияЛи #вращения _________________ Антонио Сала, UPV Университетские лекции Полная коллекция видео по адресу: https://personales.upv.es/asala/YT/in...