Пример решения: кривые, координатные карты и скалярные функции на двумерной сфере

Мы рассмотрим полный пример, используя поверхность сферы 𝑆². Мы определим многообразие, выберем координатную карту, построим кривую на сфере, определим скалярную функцию, а затем тщательно проработаем композиции 𝜙 ∘𝛾 , 𝑓∘𝛾 , 𝑓∘𝜙^(−1). Наконец, мы покажем, как эти композиции приводят к обычному правилу цепочки и касательному вектору в точке на сфере. Важная особенность этого примера заключается в том, что сфера является искривленным многообразием, но координатная карта позволяет нам использовать обычный дифференциальный и интегральный анализ в ℝ².