【バカデカ数】グラハム数はなぜここまで大きくなる？ 掛け算→累乗→塔→矢印

1を足すことから始めて、くり返しの「はしご」を1段ずつ上り、グラハム数を自分で組み立てます。 足し算は1を足すくり返し、掛け算は足し算のくり返し、累乗は掛け算のくり返し。 その先の「累乗の塔」と「クヌースの矢印」を使うと、宇宙に書ききれない数が、数文字で書けます。 グラハム数は、観測できる宇宙のすべての原子に1桁ずつ書いても書ききれません。 それなのに、最後の10桁は …2464195387 と分かっています。 3の塔だからこそ最後の桁が計算できる理由を、3を掛ける「時計」と、4で割った余りで確かめます。 ・桁の数で測る：グーゴル、グーゴルプレックス、宇宙の原子の数（およそ10の80乗） ・くり返しのはしご：1を足す、足し算、掛け算、累乗 ・累乗の塔：3↑↑3 ＝ 3の27乗 ＝ 7,625,597,484,987、3↑↑4 の桁の数は 3,638,334,640,025 ・矢印を増やす：3↑↑↑3 は、3を7兆段あまり積んだ塔 ・グラハム数：g1 ＝ 3↑↑↑↑3、前の数を次の矢印の本数にして64回 ・どこから来た数か：立方体の頂点を結ぶ線を赤と青で塗る問題 ・最後の桁を計算する：最後の桁は7、下2桁は87、下12桁は 262464195387 ・はしごの先へ：急増加関数 f_k と、オメガの段 【もくじ】 0:00 イントロ 1:08 桁で測る 2:22 くり返しのはしご 3:11 累乗の塔 5:00 矢印を増やす 6:30 グラハム数 7:05 どこから来た数か 8:31 最後の桁を計算する 10:55 はしごの先へ 12:26 まとめ 【補足】 ・グラハム数は、問題の答えそのものではなく、答えの上限として説明に使われた数です。1971年のグラハムとロスチャイルドの論文にある上限は、これより小さい数です。グラハムが説明に使ったこの数は、1977年にマーティン・ガードナーの数学コラム（Scientific American）で紹介されて広まりました。 ・答えの範囲は、13以上（Barkley 2008年）で、2↑↑↑6 より小さい（Lavrov・Lee・Mackey 2014年）ことが示されています。2↑↑↑5 より小さいとする論文（Lipka 2019年、プレプリント）もあります。 ・1980年のギネスブックには「数学の証明に使われた最大の数」として載りました。今では、もっと大きな数を使う証明があります。 ・3を h 段積んだ塔は、h が2以上なら、下の h−1 桁が決まり、塔をそれ以上高くしても変わりません（動画の表は13段まで）。 ・急増加関数は f_0(n) ＝ n＋1、f_{k＋1}(n) ＝ f_k を n 回くり返したもの、f_ω(n) ＝ f_n(n)。グラハム数は f_{ω＋1}(64) より小さくなります。 【参考】 D. E. Knuth「Mathematics and Computer Science: Coping with Finiteness」Science 194（1976） https://doi.org/10.1126/science.194.4... R. L. Graham, B. L. Rothschild「Ramsey's theorem for n-parameter sets」Transactions of the AMS 159（1971） https://doi.org/10.2307/1996010 J. Barkley「Improved lower bound on an Euclidean Ramsey problem」 https://arxiv.org/abs/0811.1055 M. Lavrov, M. Lee, J. Mackey「Improved upper and lower bounds on a geometric Ramsey problem」European Journal of Combinatorics 42（2014） https://doi.org/10.1016/j.ejc.2014.06... https://arxiv.org/abs/1304.6910 E. Lipka「Further improving of upper bound on a geometric Ramsey problem」 https://arxiv.org/abs/1905.05617 M. Gardner「Mathematical Games」Scientific American 237(5)（1977年11月） https://doi.org/10.1038/scientificame... OEIS A133613（グラハム数の下の桁） https://oeis.org/A133613 【クレジット】 VOICEVOX：ずんだもん、四国めたん 立ち絵：坂本アヒル 様 #グラハム数 #巨大数 #数学