Sucesiones de Cauchy: Definición y Demostración de Cauchy ⇔ Convergente

En este vídeo vemos la definición de sucesión de Cauchy y demostramos uno de los resultados más importantes del análisis real: una sucesión de números reales es de Cauchy si y solo si es convergente. Primero vemos la definición. Después demostramos las dos implicaciones paso a paso, usando el Teorema de Bolzano-Weierstrass. Aclaración sobre la demostración de Cauchy ⇒ convergente (11:40): Para cada n ≥ N elegimos un cierto k, es decir, el k DEPENDE de n. Ese k tiene que hacer que el término de la subsucesión a(nₖ) cumpla dos cosas a la vez: 1. Que esté cerca de L. Esto pasa si k ≥ K₀, porque la subsucesión converge a L. 2. Que esté cerca de aₙ. Esto pasa si su posición nₖ en la sucesión original es ≥ N, porque la sucesión es de Cauchy. ¿Por qué existe un k así? Porque la subsucesión va cogiendo términos cada vez más adelante en la sucesión original, sin parar. Si avanzamos lo suficiente en la subsucesión, llegamos a un término que cumple las dos cosas. Con ese k, por la desigualdad triangular: |aₙ − L| ≤ |aₙ − a(nₖ)| + |a(nₖ) − L| Cada sumando es menor que ε/2, así que |aₙ − L| es menor que ε. Como esto vale para cada n ≥ N, (aₙ) converge a L. Cualquier duda que tengáis, os leo abajo en los comentarios. ¡Espero que os sirva! #análisis #matemáticas #sucesiones #límites #Cálculo #SucesionesDeCauchy #Cauchy #convergencia #BolzanoWeierstrass 0:00 Definición de sucesión de Cauchy 2:05 Demostración: convergente ⇒ Cauchy 6:25 Demostración: Cauchy ⇒ convergente 11:40 Aclaración sobre la k (aclarado en la descripción del vídeo) 11:50 Demostración: Cauchy ⇒ convergente