CÁLCULO I | Unidade 3 | 3.6. Convexidade (BLACK)

Aula sobre a Seção 3.6 de Cálculo I, da Unidade 3 (Aplicações das Derivadas): a convexidade e a concavidade de uma função, e como a derivada segunda diz para que lado a curva dobra. Com uma figura animada para cada exemplo: um ponto percorre a curva enquanto a tangente gira e o valor de f'' aparece ao lado, a corda que fica acima do gráfico, a tangente que rola pelo logaritmo e pela raiz quadrada, e o ponto médio que compara f da média com a média de f. A aula segue em ordem: função convexa e côncava, com a definição pela corda e o teorema do sinal de f'' (exemplos a parábola e a cúbica x³ − 3x²); pontos de inflexão, onde a concavidade muda e f'' precisa mudar de sinal (exemplos x·e⁻ˣ e x⁴, em que f''(0) = 0 mas não há inflexão); tangentes e desigualdades, em que o gráfico convexo fica acima de suas tangentes (exemplos ln x ≤ x − 1 e √x ≤ (x + 1)/2); e desigualdades de médias pela desigualdade de Jensen (exemplos a média aritmética maior ou igual à geométrica e a média de potências). Cada tópico com dois exemplos resolvidos. No aprofundamento, demonstramos com rigor, em uma única tela, que se f'' ≥ 0 em um intervalo I então f(x) ≥ f(c) + f'(c)(x − c) para todos x e c em I, estudando a função g(x) = f(x) − f(c) − f'(c)(x − c) com o sinal de g', e mostramos como dessa desigualdade sai a de Jensen. Fechamos com uma curiosidade histórica sobre Hermann Minkowski, que levou a convexidade para a geometria dos números: aos dezoito anos dividiu o grande prêmio da Academia de Ciências de Paris, foi amigo de Hilbert em Königsberg, provou que um corpo convexo, simétrico e grande o bastante contém um ponto de coordenadas inteiras além da origem, foi professor de Einstein em Zurique e, em 1908, apresentou o espaço-tempo. ⏱️ Partes deste vídeo: 0:00 Abertura 0:14 Tópico A — Função convexa e côncava 2:06 Tópico B — Pontos de inflexão 3:44 Tópico C — Tangentes e desigualdades 5:48 Tópico D — Desigualdades de médias (Jensen) 7:18 Aprofundamento Teórico — o gráfico acima da tangente 8:50 Curiosidade histórica — Hermann Minkowski 9:50 Encerramento Gostou da convexidade? Se você está estudando Cálculo I, se inscreva no canal e ative o sininho para não perder os próximos vídeos da série — a próxima seção, 3.7, é sobre o esboço de gráficos de funções.   / hist.math   #matematica #math #mathematics #calculo #calculus #calculo1 #derivadas #convexidade #minkowski #histmath