§5 Улитка Паскаля

Краткая теория Улитка Паскаля показывает, насколько разнообразной может быть форма простой полярной зависимости r = a + b cos φ при a, b ＞ 0. Если a ＜ b, у кривой появляется внутренняя петля; при a = b получается кардиоида, а при a ＞ b петли нет. Соотношение параметров определяет общий облик, тогда как масштаб меняет размеры. Для правильного построения нужно учитывать, что отрицательный полярный радиус откладывается в противоположном направлении. Домашнее задание 1. Объясните геометрический смысл отрицательного радиуса в полярной записи. Перепишите точку (r, φ) = (−2, π/3) с положительным радиусом и укажите, почему игнорирование знака искажает построение улитки Паскаля. 2. Постройте r = 1 + 2 cos φ для 0 ≤ φ ＜ 2π. Найдите нули радиуса, промежуток его отрицательности и точки пересечения с осями, правильно учитывая направление откладывания отрицательного r. 3. Исследуйте семейство r = a + 2 cos φ при a ＞ 0. Определите значения a, соответствующие внутренней петле, кардиоиде и отсутствию петли; постройте примеры a = 1, 2 и 3 в одном масштабе.