Теорема Гаусса-Маркова, часть 1

В этом видео подробно рассматривается первая половина предположений Гаусса-Маркова, необходимых для того, чтобы оценки МНК были BLUE (наилучшей несмещенной оценкой). В этом видео я расскажу о предположениях Гаусса-Маркова в эконометрике и об их значении. Предположения Гаусса-Маркова — это набор критериев, впервые разработанных математиками Карлом-Фридрихом Гауссом и Андреем Марковым, и если они выполняются, это говорит о нашей способности использовать оценки МНК на выборочных данных. Это означает, что эти оценки МНК действительно являются BLUE. Но что значит, что оценка является BLUE? Это означает, что нет других линейных несмещенных оценок, которые имели бы меньшую выборочную дисперсию, чем эта конкретная оценка. Я могу проиллюстрировать это графически: представьте, что у меня есть выборочное распределение одной оценки, которое выглядит так. А затем у меня есть еще одна оценка, которая имеет примерно такой же центр, как и первая, за исключением того, что она немного круче по направлению к центру распределения. Таким образом, предполагая, что обе эти оценки несмещены, то есть обе центрированы вокруг истинного параметра генеральной совокупности, мы видим, что вторая оценка имеет меньшую выборочную дисперсию, чем первая. Это означает, что чаще всего, когда я использую свои оценки методом наименьших квадратов — когда я применяю свои оценки методом наименьших квадратов к выборочным данным, они чаще всего дают оценки истинного параметра генеральной совокупности «бета p», которые ближе к «бета p», чем я получил бы, используя первый тип оценки. Вот в чем значимость предположений Гаусса-Маркова в эконометрике. Но что же представляют собой предположения Гаусса-Маркова? В предположениях Гаусса-Маркова нет определенного порядка, но я обозначу их здесь, чтобы в будущем можно было к ним обращаться. Первое предположение Гаусса-Маркова связано с популяционным процессом, то есть предполагается, что существует некоторый популяционный процесс, связывающий заработную плату с количеством лет образования, хотя образование не определяет заработную плату напрямую, поскольку здесь присутствует некоторая ошибка. Это пример модели, линейной по параметрам, то есть линейной по альфа и бета. Таким образом, это первое предположение Гаусса-Маркова, которое гласит, что наш популяционный процесс должен быть линейным по параметрам. Заметьте, что если бы у меня была модель, где заработная плата равна альфа, умноженному на бета, умноженному на количество лет образования плюс альфа... ну, просто альфа сама по себе, — это было бы нелинейно по параметрам, поскольку это подразумевает некоторый мультипликативный эффект между альфа и бета. Или если бы здесь был бета-квадрат, это также было бы нелинейно по параметрам. Однако следует отметить, что линейность параметров не означает, что в нашей модели не может быть нелинейной переменной. Так, наличие в модели квадрата образования, а не просто образования, абсолютно допустимо при условии «линейности параметров». Это просто означает, что в модели не допускается наличие нелинейных параметров. Таким образом, это первое условие Гаусса-Маркова — второе условие заключается в наличии набора выборочных данных — x и y, которые представляют собой случайную выборку из популяции. Что это на самом деле означает? Это означает, что в нашей популяции случайная выборка происходит, если каждый человек в нашей популяции имеет одинаковую вероятность быть выбранным при взятии выборки. Это то, что мы подразумеваем под случайной выборкой. Но это также подразумевает, что не только каждый человек в популяции имеет одинаковую вероятность быть выбранным, но и что все наши точки происходят из одной и той же популяции. Таким образом, они происходят из одного и того же популяционного процесса, который в данном контексте может быть равен альфа + бета, умноженное на образование, плюс некоторая ошибка. Третье условие, пожалуй, наиболее важное из условий Гаусса-Маркова, — это нулевое условное среднее значение ошибок. Что это на самом деле означает? Математически это означает, что математическое ожидание нашей ошибки в генеральной совокупности при заданном значении x, которое в данном случае равно образованию, должно быть равно нулю. А что это означает на практике? Это означает, что если я знаю уровень образования человека, это не помогает мне предсказать, будет ли он выше или ниже среднего значения линии регрессии генеральной совокупности. Вот что означает нулевое условное среднее значение ошибки. И это, пожалуй, наиболее важное из предположений Гаусса-Маркова, по причинам, которые мы рассмотрим позже. На этом завершается наше первое видео, посвященное предположениям Гаусса-Маркова. В следующем видео я объясню следующие три предположения Гаусса-Маркова. Учебные материалы и информация об обновлениях по каждому из курсов доступны по ссылке https://ben-lambert.com/econometrics-....