(Réduction) Montrer que deux matrices sont semblables: un joli critère (Exercice résolu)

Lien vers mon site: https://fmaalouf.com Cette vidéo fait partie d'une série sur les colles, exercices type et grand classiques des concours des grandes écoles. Lien pour la playlist:    • Déterminants (10/14): déterminant de Hürwitz   Si A et B sont deux matrices carrées de même taille, M=AB et N=BA. Que peut-on dire de M et N? Alors ce qui est toujours vrai, c’est que M et N ont le même polynôme caractéristique, et donc en particulier M et N ont toujours le même déterminant et la même trace. Mais si A ou B est inversible, on peut dire plus: dans ce cas, M et N sont semblables. Il y a une sorte de réciproque à ce résultat: sous condition d'inversibilité, deux matrices carrées M et N sont semblables si et seulement si elles sont de la forme AB et BA pour certaines matrices carrées A et B. Dans cet exercice, on discute de ces résultats, on donne les preuves, et on fera une petite application.