Круглое тело, каждый срез которого является идеальным квадратом

0:00 The experiment — round outside, square inside 3:29 The square slices 4:41 Rotation solids are equations too 7:34 Choosing the knife, and what the eye is still for Пересеките два круглых цилиндра под прямым углом. Их общая часть полностью вырезана из кругов — однако её объём составляет 16/3, и нигде нет пи. Потому что каждый горизонтальный срез этого круглого объекта представляет собой идеальный квадрат: сторона 2 корень(1 минус k в квадрате), площадь 4(1 минус k в квадрате). Интегрируйте квадраты, и пи никогда не появится. (Измерено 5.3333, и проверка методом Монте-Карло с миллионом точек подтверждает это.)Главный урок: вам никогда не нужно видеть тело, чтобы его измерить. Подстановка — это нож. Тело, определённое неравенствами по x, y, z, разрезается путём подстановки x = k: оставшиеся неравенства, по двум другим переменным, И ЕСТЬ поперечное сечение. Если они противоречат друг другу, нож прошёл сквозь пустоту — так вы находите, где тело существует. Диапазон существования, площадь сечения, интегрируйте: e в степени x ниже y ниже e в квадрате с 0 ниже z ниже x даёт ровно e в квадрате минус 1, и разрезание вдоль другой оси даёт тот же результат.Тела вращения также являются уравнениями: x в квадрате плюс y в квадрате равно f от z — это в точности "тело вращения вокруг оси z". Два параболоида, обращённые друг к другу, захватывают линзу, сечения которой дают пи делить на 16. А два вращающихся эллиптических тела пересекаются в форме, которую автор источника признаёт, что никогда не мог себе представить — "но у меня были уравнения, так что это не имело значения". Объём: 8 корень из 3 пи делить на 9, измерено 4.8368.Каждое число на экране получено из реальных вычислений.MATH(2099) — математика инвариантна для каждой мировой линии.