Cours articulé de mathématiques — Méthode 5 : appliquer le théorème de Bayes (chapitre 20)

Une pièce est défectueuse : de laquelle de trois machines vient-elle le plus probablement ? Film sur l'étude 5 (méthode, niveau trois étoiles) du chapitre 20 « Dénombrement et probabilités » du Volume I du Cours articulé de mathématiques : la condition du livre (les événements de conditionnement ont une probabilité non nulle), la formule de Bayes qui inverse les conditionnements, la méthode en quatre temps (les causes B_i, une partition de Ω ; les probabilités a priori et les vraisemblances ; P(A) par les probabilités totales ; Bayes), le problème (trois machines produisant 50 %, 30 % et 20 % de la production, avec des taux de défaut de 1 %, 2 % et 3 %) et un temps pour essayer, puis les étapes construites à l'écran : (a) l'arbre à trois branches, les trois chemins vers D valent 0,005, 0,006 et 0,006, donc P(D) = 0,017, avec le contrôle que les six feuilles totalisent 1 ; (b) le théorème de Bayes, P(M_i | D) = 0,005/0,017 ≈ 29,4 %, puis 0,006/0,017 ≈ 35,3 % pour M_2 et pour M_3, soit exactement 5/17, 6/17 et 6/17, de somme 1, sur une barre à l'échelle ; (c) la conclusion : M_2 et M_3 sont ex æquo, parce que 0,3 × 0,02 = 0,2 × 0,03, et les barres de la production et des pièces défectueuses montrent que les deux effets (volume de production et taux de défaut) se compensent. À retenir : les quatre temps, et P(D | M_1) = 1 % n'est pas P(M_1 | D) ≈ 29,4 %. Enfin le lien avec l'article 150 : le théorème de Bayes (150.3), démontré à l'article 150 par la définition, les probabilités composées au numérateur et les probabilités totales au dénominateur. La solution imprimée n'est pas montrée : à vous de comparer avec le livre. 0:00 La question : de quelle machine ? 0:25 La méthode : Bayes en quatre temps 0:53 Le problème, puis à vous 1:23 Étape (a) : l’arbre et P(D) = 0,017 2:04 Étape (b) : le théorème de Bayes 2:54 Étape (c) : M2 et M3 ex æquo 3:24 À retenir : les quatre temps 3:42 Le lien avec l’article 150 📖 Source : étude 5 (méthode) du chapitre 20 : phrase d'hypothèse, paragraphe de méthode, énoncé et étapes (a) à (c) ; article 150 : théorème 150.3 et sa démonstration. Prochaine méthode : utiliser les probabilités totales, étude 6. Extrait gratuit (l’ouverture, la table des matières et le chapitre 1 en entier) : https://clementinium.com/edition-2027... Le livre : https://clementinium.com/books/elements William de France · Éditions Clementinium