Третий столп алгебры: Поля | Абстрактная алгебра | Теория полей | Догматика

https://dogmathic.com/ Что такое поле на самом деле? Мы начнем с нуля, с множества F и двух операций, + и ·, а затем запишем аксиомы, вместо того чтобы прятать их за одним предложением. Во-первых, (F,+) должно быть абелевой группой: замкнутость, ассоциативность, аддитивный нейтральный элемент 0, аддитивные обратные элементы и коммутативность. Далее мы убираем ноль и рассматриваем F* = F \ {0}. Ключевое улучшение по сравнению с кольцами заключается в том, что (F*,·) также является абелевой группой: каждый ненулевой элемент имеет мультипликативный обратный элемент, и существует мультипликативный нейтральный элемент 1. Затем мы связываем две операции с помощью левой и правой дистрибутивности. Отсюда мы переходим к основным фактам о полях, таким как отсутствие делителей нуля, и перечисляем стандартные примеры: Q, R, C и конечные поля F_p = Z/pZ, когда p — простое число. Во-первых, (F,+) должно быть абелевым полем: замкнутость, ассоциативность, аддитивная нейтральность 0, аддитивные обратные элементы и коммутативность. Затем мы переходим к подполям и тесту подполей, показываем классические цепочки, такие как Q ⊆ R ⊆ C, и говорим о характеристике char(F). Мы определяем характеристику посредством многократного сложения 1, вычисляем примеры, такие как char(Z/5Z)=5 и char(Q)=0, и объясняем большую теорему: характеристикой поля является либо простое число p, либо 0. Наконец, мы представляем обзор расширений полей, включая Q(√2) и конечное расширение поля F4, построенное из F2[x]/(x^2 + x + 1), где α^2 = α + 1 заставляет каждый элемент выглядеть как a + bα.    • The Secret Structure Hidden Inside F2[x] m...      • An Infinite Group Example You Can Prove By...      • The Gateway to Group Theory: Groups in Und...      • The Backbone of Algebra: Rings In 40 Minut...      • The Hidden Glue: The Inverse Trick Powerin...      • Abstract Algebra   ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ СВОЙСТВА И ПОНЯТИЯ Поле как множество с двумя операциями + и · Аксиомы абелевой группы для (F,+) Замкнутость, ассоциативность, тождественность 0, обратные элементы, коммутативность сложения Ненулевое множество F* = F \ {0} Аксиомы абелевой группы для (F*,·) Мультипликативная тождественность 1 и мультипликативная Обратные поля Левый и правый дистрибутивные законы Поля не имеют делителей нуля Примеры Q, R, C Конечные поля F_p = Z/pZ для простого p Определение подполей и наследование аксиом Проверка подполей с использованием 1 ∈ K, a-b ∈ K, a·b^{-1} ∈ K Характеристика char(R) через n·1 = 0 char(F) — простое p или 0 Подполя должны иметь общую характеристику с полем Простое подполе Расширения полей E/F Присоединение √2 для получения Q(√2) Алгебраические элементы и решение x^2 - 2 = 0 Конечное расширение F4 из F2[x]/(x^2 + x + 1) и α^2 = α + 1 Нормальная форма a + bα в F4 РАЗДЕЛЫ 00:00 Введение 00:50 Три ракеты 01:45 Определение поля 02:35 Аксиомы сложения 04:10 Умножение на F* 06:40 Дистрибутивность 07:55 Примеры полей 09:25 Подполя 11:35 Критерий подполя 13:05 Примеры подполей 14:25 Характеристика 16:55 Примеры характеристик 18:40 Характеристика — простое число или ноль 20:10 Краткое изложение доказательства 22:05 Характеристика и подполя 23:50 Простое подполе 25:00 Расширения полей 26:30 Q(√2) 28:40 Решение x^2 - 2 30:45 Построение F4 33:10 Элементы F4 35:20 Заключение 36:19 Спасибо за просмотр #dogmathic #AbstractAlgebra #ТеорияПоля #Поля #Подполя #Характеристика #РасширенияПоля #КонечныеПоля #Fp #F2 #F4 #КольцаИПеля