07 Intervallumbecslés 2 rész

📊 1. Konfidenciaintervallum a σ szórásra (ha a várható érték (M) is ismeretlen)Ha a minta normális eloszlású (\(X_i \sim N(M, \sigma)\)), és sem a várható érték (M), sem a szórás (σ) nem ismert, a szórás becsléséhez a tapasztalati szórásnégyzetet (\[S_{n}^{2}\]) hívjuk segítségül (0:00). Alaptétel: Az \[\frac{S_{n}^{2}\cdot n}{\sigma ^{2}}\] statisztika egy n-1 szabadsági fokú χ² (khí-négyzet) eloszlású valószínűségi változó (0:59). A stratégia: Keresünk két olyan pozitív számot (C₁ és C₂), amelyek alá és fölé a statisztika \[\frac{\alpha }{2}\], illetve \(1 - \frac{\alpha}{2}\) valószínűséggel esik (1:25). Ha F jelöli az n-1 szabadsági fokú χ² eloszlásfüggvényt, akkor:\(C_1 = F^{-1}\left(\frac{\alpha}{2}\right)\) (2:56)\(C_2 = F^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2}\right)\) (3:04) A konfidenciaintervallum: Az egyenlőtlenséget átrendezve (reciprokot véve és négyzetgyököt vonva) a σ-ra kapott centrált konfidenciaintervallum végpontjai (3:32):Alsó végpont (τ₁): \[\frac{S_{n}\cdot \sqrt{n}}{\sqrt{C_{2}}}\] (3:58)Felső végpont (τ₂): \[\frac{S_{n}\cdot \sqrt{n}}{\sqrt{C_{1}}}\] (3:58) Ez a megoldás akkor is tökéletesen működik, ha az M paraméter valójában ismert lenne (4:37).  📈 2. Konfidenciaintervallum az M várható értékre (ha a szórás (σ) is ismeretlen)Mivel a valódi σ szórás nem ismert, annak helyére annak torzítatlan becslését, a korrigált tapasztalati szórást (\[S_{n}^{*}\]) helyettesítjük be (8:50). Alaptétel: Ekkor a statisztika már nem sztenderd normális eloszlást fog követni, hanem egy n-1 szabadsági fokú t-eloszlást (Student-eloszlást) (5:41): \[\frac{\={X}-M}{S_{n}^{2}}\cdot \sqrt{n}\sim t_{n-1}\]Tulajdonságok: A t-eloszlás a sztenderd normális eloszláshoz hasonlóan szimmetrikus (6:51). Ha a szabadsági fok (vagy a mintaszám) elég nagy (a gyakorlatban n ≥ 50), a t-eloszlás eltérése a sztenderd normális eloszlástól már elhanyagolhatóvá válik (7:33). A konfidenciaintervallum: Ha F az n-1 szabadsági fokú t-eloszlás eloszlásfüggvénye, és a konstans \(C = F^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2}\right)\) (9:35), akkor az M-re vonatkozó centrált konfidenciaintervallum:Alsó végpont (τ₁): \(\bar{X} - \frac{S_n^*}{\sqrt{n}} \cdot C\) (10:57)Felső végpont (τ₂): \(\bar{X} + \frac{S_n^*}{\sqrt{n}} \cdot C\) (10:57)  🗒 3. Konfidenciaintervallum egy P valószínűségre (indikátorváltozó esetén)Itt egy A esemény bekövetkezését vizsgáljuk (1 ha bekövetkezik, 0 ha nem) (13:19). A mintaátlag (X̄) ebben az esetben pontosan megegyezik az esemény relatív gyakoriságával (14:37). Mivel diszkrét eloszlásról van szó, kétféle megközelítést alkalmazhatunk a mintaszámtól függően (14:11):  A) Nagymintás eset (Aszimptotikus közelítés) Alaptétel: Az n ⋅ X̄ (a gyakoriság) binomiális eloszlást követ (15:35). A Moivre–Laplace-tétel alapján, ha n elég nagy, ennek a változónak a sztenderdizáltja közelítőleg sztenderd normális eloszlású lesz (16:18). Becslés másodfokú polinommal: A rendezés során egy P-re másodfokú egyenlőtlenséget kapunk, amelynek a két gyöke adja meg az intervallum határait (19:09). Egyszerűsített formula (brutálisan nagy n, pl. n=10000 esetén): Ha az \[\frac{1}{n}\] tagok elhanyagolhatóan kicsik az \[\frac{1}{\sqrt{n}}\]-hez képest, a képlet jelentősen leegyszerűsödik (2:56):\(\tau_1 = \bar{X} - C \cdot \sqrt{\frac{\bar{X}(1-\bar{X})}{n}}\) (21:34)\(\tau_2 = \bar{X} + C \cdot \sqrt{\frac{\bar{X}(1-\bar{X})}{n}}\) (21:34)Ahol \(C = \Phi^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2}\right)\) a sztenderd normális eloszlás inverze (21:43).  B) Kismintás eset (Egzakt binomiális konfidenciaintervallum) Ha a mintaszám nem elég nagy a fenti közelítéshez, akkor a binomiális eloszlás tagjainak közvetlen összegezésével határozzuk meg a korlátokat (21:54): Alsó korlát (τ₁): Megkeressük a legnagyobb olyan Z értéket, amelyre a binomiális eloszlású valószínűségek összege 0-tól Z-ig még éppen kisebb vagy egyenlő, mint \[\frac{\alpha }{2}\] (22:36). Ezt a maximumot elosztjuk n-nel (24:29).Felső korlát (τ₂): Megkeressük a legkisebb olyan Z értéket, amelyre az összeg még \(1 - \frac{\alpha}{2}\) felett van, majd ezt is elosztjuk n-nel (24:41).