Почему умножение случайных величин никогда не дает колоколообразную кривую

Возьмите честную монету и текущую сумму, прибавьте десять при выпадении орла и вычтите десять при выпадении решки, и после нескольких сотен бросков вы получите ожидаемую всеми колоколообразную кривую. Теперь измените один арифметический символ. Умножьте на 1,1 при выпадении орла и разделите на 1,1 при выпадении решки, используя те же самые броски, и колоколообразная кривая никогда не появится. Вместо этого получится сильно наклоненная влево, нагромождающаяся на нулевой отметке, которую она никогда не сможет пересечь, и тонкая полоса уходит далеко за пределы того, что допускает симметричная картина. Эта форма — логарифмически нормальное распределение. Причина не в том, что умножение каким-то образом более непредсказуемо, чем сложение. Центральная предельная теорема — это теорема о суммах, а произведение не является суммой. Но логарифм превращает произведение в сумму, поэтому теорема применима, только на один уровень ниже: именно log X становится нормальным, и то, что вы видите, — это колоколообразная кривая, пропущенная через экспоненциальное отображение. Это отображение делает ровно две вещи, и все остальное следует из них. Она возрастает, поэтому медиана остается неизменной на уровне e^mu. Она выпуклая, поэтому неравенство Йенсена сдвигает среднее значение строго выше неё, до e^(mu + σ²/2). Разрыв между ними состоит исключительно из дисперсии, а это значит, что у каждого мультипликативного процесса есть математическое ожидание, которого большинство его запусков никогда не достигают. Мы наглядно демонстрируем это на примере ставки, от которой зависит, разоритесь ли вы: честная монета приносит плюс пятьдесят процентов или минус сорок процентов. Среднее арифметическое двух множителей равно 1,05, поэтому ожидаемый баланс растёт на пять процентов за раунд и достигает 131-кратной вашей ставки после ста раундов. Среднее значение логарифмов отрицательно, поэтому медианный игрок в итоге оказывается менее чем в одном проценте от того, с чего начал. Оба утверждения верны, исходя из одних и тех же двух чисел. Мы также показываем, почему увеличение количества раундов ухудшает ситуацию, а не улучшает её, поскольку отношение среднего значения к медиане экспоненциально возрастает с увеличением числа шагов, и завершаем объяснение средним значением, которое действительно применимо к компаундирующему процессу: геометрическим средним, которое для логарифмически нормального распределения в точности равно медиане. Похожие видео ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ Центральная предельная теорема — объяснение:    • Central Limit Theorem - Explained   Неравенство Йенсена — почему среднее значение кривой не совпадает со средним значением кривой:    • Jensen's Inequality - Why the Average of a...   Гауссово (нормальное) распределение — объяснение:    • Gaussian (Normal) Distribution Explained #...   Распределение Коши — почему среднего значения не существует:    • The Cauchy Distribution - Why the Mean Doe...   Закон больших чисел (не является ошибкой игрока):    • The Law of Large Numbers (is Not the Gambl...   Среднее значение выборки против ожидаемого значения:    • Sample Mean vs Expected Value   Статистические моменты: среднее значение, вариация, асимметрия, эксцесс:    • Statistical Moments: Mean, Variation, Skew...   Почему у t-распределения более «толстые хвосты»:    • Why the t-Distribution Has Fatter Tails   Содержание ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ 00:00 - Два способа накопления случайности 01:40 - Почему суммы становятся колоколами 03:12 - Отказ от произведения 04:52 - Логарифмы превращают произведения в суммы 06:20 - Проталкивание колокола через экспоненциальную функцию 08:13 - Три средних значения, которые не совпадают 10:42 - Ставка, которая растет и сжимается 12:29 - Становится хуже, а не лучше 14:25 - Среднее значение, которое действительно применимо Подписывайтесь на меня ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ 🐦 X: @datamlistic https://x.com/datamlistic 📸 Instagram: @datamlistic   / datamlistic   📱 TikTok: @datamlistic   / datamlistic   👔 Linkedin:   / datamlistic   Поддержка канала ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ Лучший способ поддержать канал — поделиться контентом. ;) Если вы также хотите поддержать канал финансово, пожертвование в размере стоимости чашки кофе всегда приветствуется! (полностью необязательно и добровольно) ► Patreon:   / datamlistic   ► Bitcoin (BTC): 3C6Pkzyb5CjAUYrJxmpCaaNPVRgRVxxyTq ► Ethereum (ETH): 0x9Ac4eB94386C3e02b96599C05B7a8C71773c9281 ► Cardano (ADA): addr1v95rfxlslfzkvd8sr3exkh7st4qmgj4ywf5zcaxgqgdyunsj5juw5 ► Tether (USDT): 0xeC261d9b2EE4B6997a6a424067af165BAA4afE1a #lognormal #statistics #machinelearning