Selectividad Murcia - Sep. 2017 - Matemáticas II - Bloque Geometría - Área triángulo-Ecuación recta

Resolución de la cuestión B2. Considere los puntos A = (1, 1, 1),B = (1,−1, 0) y C = (0,−2, 1). a) Calcule el área del triángulo ABC. b) Calcule la ecuación de la recta (en cualquiera de sus formas) contenida en el plano que forman A, B y C que, pasando por A, es perpendicular al lado BC. Solución: a) El área del triángulo es la mitad del módulo del producto vectorial de los vectores AB = (0,−2,−1) y AC = (−1,−3, 0). Entonces AB x AC = −3i +j - 2k. El módulo es la raíz cuadrada de la suma de cada término al cuadrado: |AB x AC| = √[(-3)^2 + (1)^2 + (-2)^2] = √(9+1+4) = √14 El área del triángulo formado por los puntos A, B y C es √14/2 u^2. b) Podemos escribir la recta buscada como intersección de dos planos, un plano π que contiene a los tres puntos, del que ya conocemos un vector ortogonal AB x AC, y otro con el plano π´ perpendicular a la recta BC por el punto A. Plano π determinado por A, B y C: −3x + y − 2z + D, sustituyendo A(1, 1, 1) queda: −3 + 1 − 2 + D = 0; Entonces D = 4. Plano π: −3x + y − 2z + 4 = 0 El otro plano π´ perpendicular a la recta BC por A: −x−y +z +D = 0, sustituyendo A (1, 1, 1) queda: −1−1+1+D = 0; Entonces D = 1; Plano π´ : −x − y + z + 1 = 0. La recta buscada que pasa por A y es perpendicular a BC viene dada por: π: −3x + y − 2z + 4 = 0 π´ : −x − y + z + 1 = 0. Enunciados exámenes de selectividad de la Región de Murcia: https://examenesacceso.um.es/examenes...