Selectividad Murcia - Julio 2022 - Matemáticas II - Bloque números y álgebra - Matrices - Cuestión 2

Cuestión 2: Se dice que una matriz cuadrada A es idempotente si cumple que (A)^2 = A. a) Si A es una matriz idempotente, calcule razonadamente A^(2022). b) Si A es una matriz idempotente y regular (o inversible), calcule razonadamente su determinante. c) Determine para qué valores de a y b la siguiente matriz es idempotente A. Solución: Una matriz idempotente es aquella matriz que multiplicada por ella misma da como resultado la misma matriz. a)(A)^2 = A; (A)^3 = (A)^2 · A = A · A = A; (A)^4 = (A)^3 · A = A · A = A; . . .A^(2022) = A b) Llamemos |A| = x, como el determinante de la matriz producto es el producto de los determinantes: Por un lado |A · A| = |A| · |A| = |A|^2 = x^2 Por otro lado tenemos que |A · A| = |A| = x, si unimos ambos resultados: x^2 = x, x^2 − x = 0 que tiene de soluciones 0 y 1, como nos dicen que es invertible, entonces no puede ser 0, y necesariamente el determinante de A es 1 c) A^2 = A · A = A, si igualamos posición a posición en las matrices, resultan estás tres ecuaciones: a = a^2 1 − a = (1 − a)^2 b = b^2 La segunda ecuación es equivalente a la primera, ya que: (1 - a)^2 = 1 - a; 1 + a^2 - 2a = 1 - a; a^2 = 2a - a; a^2 = a. Por lo tanto, A^2 = A si y solo si, a^2 = a y b^2 = b. Entonces a^2 = a, entonces a^2 - a = 0, a · (a - 1) = 0, entonces a = 0 o a = 1 Del mismo modo, b^2 = b, entonces b^2 - b = 0, b · (b - 1) = 0, entonces b = 0 o b = 1. En definitiva, A^2 = A si y solo si a = 0 o a = 1 y b = 0 o b = 1.