ЧАСТЬ 1 | МЕТОД ПОДСТАНОВКИ ПРИ РЕШЕНИИ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ

Система уравнений — это просто два или более уравнений с одинаковыми переменными, которые верны одновременно. Мы ищем значения $x$ и $y$, которые позволяют обоим уравнениям выполняться. Пример: $$\begin{cases} 2x + y = 10 \\ x - y = 2 \end{cases}$$ Нам нужна пара $(x, y)$, которая удовлетворяет обоим уравнениям. Метод исключения — идея «Исключение» означает «избавление». Мы складываем или вычитаем уравнения, чтобы исключить одну переменную. Затем мы решаем относительно другой и подставляем обратно. Это как балансировка весов. Что бы вы ни сделали с одним уравнением, сделайте то же самое с другим. --- Пошаговое объяснение на примере выше Дано: 1. 2x + y = 10 2. x - y = 2 Шаг 1: Выровняйте их и найдите противоположные по знаку Посмотрите на члены с y: у нас есть +y и -y. Отлично! Они сократятся, если мы их сложим. Шаг 2: Сложите или вычтите, чтобы исключить Сложите уравнение 1 и уравнение 2: $$\begin{aligned} (2x + y) + (x - y) &= 10 + 2 \\ 2x + x + y - y &= 12 \\ 3x &= 12 \end{aligned}$$ $y$ исчез 👌 Шаг 3: Найдите оставшуюся переменную $$3x = 12 \quad \Rightarrow \quad x = 4$$ Шаг 4: Подставьте обратно, чтобы найти другую переменную Подставьте $x = 4$ в любое из исходных уравнений. Давайте воспользуемся уравнением 2: $$x - y = 2$$ $$4 - y = 2$$ $$-y = 2 - 4$$ $$-y = -2 \quad \Rightarrow \quad y = 2$$ Шаг 5: Проверка Проверка уравнения 1: $2(4) + 2 = 8 + 2 = 10$ ✓ Решение: $x = 4, \ y = 2$ --- Что, если они не сокращаются напрямую? Иногда нужно сначала умножить, чтобы они совпали. Пример: $$\begin{cases} 3x + 2y = 12 \\ 2x - y = 1 \end{cases}$$ $y$ члены — это $+2y$ и $-y$. Умножим уравнение 2 на 2: $$2(2x - y) = 2(1) \quad \Rightarrow \quad 4x - 2y = 2$$ Теперь сложим: $$\begin{aligned} (3x + 2y) + (4x - 2y) &= 12 + 2 \\ 7x &= 14 \\ x &= 2 \end{aligned}$$ Затем подставим $x = 2$, чтобы получить $y$. Основные правила метода исключения: 1. *Запишите уравнения в стандартной форме*: $ax + by = c$ 2. *Совместите коэффициенты*: умножьте так, чтобы одна переменная имела одинаковое число в обоих случаях. 3. *Добавьте для исключения, если знаки противоположные, вычтите, если знаки одинаковые*. 4. *Решите, затем подставьте обратно*. Метод исключения против метода подстановки *Метод исключения*: Лучший вариант, когда коэффициенты легко сопоставить или они уже противоположные. *Метод подстановки*: Лучший вариант, когда одно уравнение уже решено, например, $y =...$ Хотите, чтобы я подготовил для вас 3 практических задачи с решениями или эскиз для метода исключения?