Trave con carrello a dx e doppio pendolo a sx, carico concentrato inclinato

Trave con carrello a dx e doppio pendolo a sx, carico concentrato inclinato. Lo schema statico Si tratta di una trave orizzontale di 7 metri di luce, vincolata con un carrello a sinistra e un doppio pendolo a destra. L’asse del carrello (perpendicolare al piano di scorrimento) forma con l’orizzontale un angolo di 50°. L’asse del doppio pendolo (parallelo alle due bielle) è verticale. Il carico è concentrato e vale P=6 kN a 4 metri dal carrello e diretto verso il basso. Il carico P forma con l’asse della trave un angolo di 70°. Verifica dell’isostaticità Il carrello elimina un solo grado di libertà, quello lungo l’asse. Il carrello impone una reazione vincolare RA diretta lungo il suo asse. RA formerà un angolo di 50° con l'asse orizzontale della trave. Il doppio pendolo ad asse verticale impedisce la rotazione e la traslazione verticale, lasciando libera la componente di scorrimento orizzontale. Il doppio pendolo offre quindi due reazioni vincolari: Una forza RBy verticale e un momento reattivo MB. Il grado di vincolo complessivo vale 3 a fronte dei tre gradi di libertà della trave. Quindi, poiché GDV=GDL, la trave risulta isostatica. Determinazione dei carichi e calcolo della reazione del carrello Si parte con la scomposizione del carico concentrato P=6 kN, inclinato di 70° rispetto all'asse della trave. La componente orizzontale è Px=Pcos(70°)=6cos(70°)=2,052 kN (diretta verso destra). La componente verticale è Py=Psen(70°)=6sen(70°)=5,638 kN (diretta verso il basso). Poiché il doppio pendolo ad asse verticale non è in grado di offrire alcuna reazione in senso orizzontale, l'intera azione assiale indotta dal carico deve essere bilanciata dalla componente orizzontale della reazione del carrello RA. Dall'equilibrio alla traslazione orizzontale RAX+Px=0, si otterrà RAX=-Px=-2,052 kN. Quindi ricaviamo il valore del modulo della reazione del carrello: RA=RAX/cos(50°)=-2,052/cos(50°)=-3,191 kN. Il segno negativo indica che il carrello lavora a trazione. Di conseguenza, la componente verticale della reazione del carrello è RAy=RAsen(50°)= -3,191sen(50°)=-2,444 kN ed è diretta verso il basso. Calcolo delle reazioni del doppio pendolo Procediamo alla determinazione delle reazioni del bipendolo: la forza verticale RBy e il momento concentrato MB. Scriviamo l’equazione di equilibrio alla traslazione verticale: RAy-Py+ RBy=0. Sostituendo i valori numerici comprensivi di segno si ottiene -2,444-5,638+RBy=0. Da qui la reazione verticale del doppio pendolo RBy=2,444+5,638=8,082 kN (diretta verso l'alto). Successivamente, si scrive l'equazione di equilibrio alla rotazione scegliendo come polo l’estremità sx della trave e assumendo come positiva la rotazione antioraria. La componente Py, con braccio pari a 4 metri, genera un momento orario. La reazione RBy, con braccio di 7 metri, genera un momento antiorario. L'equazione di equilibrio alla rotazione ha questa forma -(5.638x4)+(8.082)+MB=0. Da qui il calcolo di MB: MB=+(5.638x4)-(8.082)=-34.021 kN. Il segno meno attesta che il momento agisce in senso orario. Studio delle varie combinazioni di inclinazione degli assi dei vincoli Per completare lo studio, si analizza la stabilità globale del sistema al variare delle giaciture degli assi dei due vincoli, considerando le combinazioni fondamentali tra assi Verticali (V), Orizzontali (O) e Inclinati (I): • Carrello Inclinato - Bipendolo V (Caso base): Isostatica. Le direzioni di vincolo non sono parallele e non generano centri di rotazione coincidenti. • Carrello V - Bipendolo Vverticale: Labile per carichi orizzontali, iperstatica per carichi verticali. Il carrello con asse verticale reagisce con una forza verticale. Il bipendolo verticale reagisce con una forza verticale e un momento concentrato. • Carrello O - Bipendolo V: Isostatica. Il carrello presenta una reazione orizzontale RAX uguale e contraria Px: RAX=-2,052 kN. Il bipendolo reagisce con una forza verticale RBy diretta verso l’alto uguale e contraria a Py e con un momento concentrato MB. Quindi RBy=Py=58,638 kN. Il momento MB si calcolerà così: MB=-7RBy+4Py=-=-7.5,638+4.5,638=-16,914 kN.m • Carrello I - Bipendolo O: Isostatica. Il bipendolo ad asse orizzontale impedisce la traslazione orizzontale e la rotazione. L'asse inclinato del carrello garantisce l'equilibrio generale. • Carrello V - Bipendolo O: Isostatica. Il carrello reagisce verticalmente con RAy uguale e contraria a Py. Il bipendolo reagisce in orizzontale con una forza RBx uguale e contraria a Px e ancora con un momento MB pari a Py.4. Eseguendo i calcoli avremo RAy=5,638 kN, RBy=2,052 kN, MB=Py.4=22,552 kN.m • Carrello O - Bipendolo O: Labile per carichi verticali e iperstatica per carichi orizzontali. Il carrello reagisce orizzontalmente. Il bipendolo reagisce con una forza orizzontale e un momento. • Carrello I - Bipendolo I: Isostatica. Anche in questo case basterà applicare le tre equazioni cardinali della statica così come spiegato nella videolezione