Initiation à l'algèbre Partie 5 Relations et fonctions 2 TV 1969

Une relation binaire peut aussi être définie plus généralement entre deux ensembles distincts, comme la relation d'appartenance entre points et droites du plan, qui peut être utilisée pour axiomatiser celui-ci (on l'appelle alors relation d'incidence). En mathématiques une relation est définie par son extension1, ce qui signifie que la façon d'exprimer la relation importe peu, seul compte le résultat obtenu : dans le cas d'une relation binaire les couples d'éléments qui sont en relation et ceux qui ne le sont pas. Définition 1. — Une relation binaire entre E et F, ou de E vers F, est un sous-ensemble du produit cartésien E × F. Dans le cas particulier où E = F on parle de relation binaire sur E1. Une variante est de définir une relation en intégrant dans la définition l'ensemble de départ et l'ensemble d'arrivée (on n'est plus obligé de préciser « entre E et F », ceux-ci font partie de la définition). Définition 2. — Une relation binaire est un triplet (E, F, G)2 où G est un sous-ensemble du produit cartésien E × F, appelé graphe de la relation3 ; E est l’ensemble de départ de la relation, et F son ensemble d'arrivée.