Ecuación canónica de la parábola: ¿Por qué 4p? demostración paso a paso

¿De dónde sale la ecuación canónica de la parábola y por qué aparece 4p? En este video la deducimos paso a paso a partir de la definición de parábola, usando el foco, la directriz y la igualdad de distancias. Trabajamos con una parábola de eje vertical hasta obtener (x − x_v)² = 4p(y − y_v). Una parábola es el conjunto de puntos del plano que están a la misma distancia de un punto fijo, llamado foco, y de una recta fija, llamada directriz. Esta propiedad geométrica es el punto de partida de la demostración. Primero identificamos el vértice V = (x_v, y_v). Para la parábola que abre hacia arriba, p es la distancia del vértice al foco y también a la directriz. Por eso el foco es F = (x_v, y_v + p) y la directriz tiene ecuación y = y_v − p. Elegimos un punto genérico P = (x, y) sobre la curva y seguimos estos pasos: • Expresar la distancia del punto al foco mediante la fórmula de distancia entre dos puntos. • Expresar la distancia perpendicular del punto a la directriz. • Trabajar con ambas distancias al cuadrado y desarrollar los cuadrados de binomios. • Igualar, cancelar términos comunes y llegar a la ecuación canónica. La animación acompaña la identificación de las partes del gráfico, mientras en la pizarra desarrollamos la deducción algebraica general, sin reemplazar las letras por valores numéricos. Preguntas que responde este video • ¿Cómo se demuestra la ecuación canónica de una parábola? • ¿Por qué aparece el coeficiente 4p? • ¿Qué relación tienen el foco y la directriz con la ecuación? • ¿Qué representa p y cómo se ubica respecto del vértice? • ¿Por qué se igualan las distancias al cuadrado? • ¿Qué términos se cancelan para obtener (x − x_v)² = 4p(y − y_v)? Este contenido sirve para secundaria, ingreso universitario y primeros cursos de Álgebra, Geometría Analítica y Precálculo. Conecta lugares geométricos, cónicas y distancia entre puntos, y ayuda a comprender el estudio de funciones cuadráticas y el paso entre ecuación explícita y canónica. Materias relacionadas: Matemática, Matemática I, Matemática A, Álgebra, Geometría Analítica, Precálculo e Introducción al Análisis Matemático. Universidades y búsquedas relacionadas: material de apoyo para estudiantes de UBA (Universidad de Buenos Aires), UNLP (Universidad Nacional de La Plata), UTN (Universidad Tecnológica Nacional), UNC (Universidad Nacional de Córdoba), UNR (Universidad Nacional de Rosario), UNAM (Universidad Nacional Autónoma de México), Universidad de Chile, Universidad Nacional de Colombia y UDELAR (Universidad de la República). #Matemática #Parábola #EcuacionCanonica #FocoYDirectriz #GeometriaAnalitica #Conicas #Demostracion #Precalculo #UBA #UNLP #UTN #MatematicasDesarmadas