分析学，从零搭建 · 第1部分：实数与空间的形状 | Analysis, Built: Part 1, The Real Numbers and the Shape of Space (中文)

十集系列的第1部分：跟着鲁丁的三本教材，从零搭建数学分析。傅里叶断言每个函数都是正弦波之和，这逼着数学家说清楚极限到底是什么，而这要从实数讲起。我们找出有理数里的洞，用戴德金分割把它们填上；用康托尔的对角线论证数一数无穷；在度量空间里定义距离；然后认识开集与闭集、紧性、用二分法证明的海涅–博雷尔定理、康托尔集、连通性，以及一个闭且有界、却不紧的函数集合。 中文版完整合集：   • 分析学，从零搭建【中文版·全10集】   English narration:    • Analysis, Built: Real, Complex and Functio...   画面上的每个数字都经过计算和核对；标注为示意图的画面除外。 Part 1 of a ten-part series that builds mathematical analysis from scratch, following Walter Rudin's three textbooks. Fourier's claim that every function is a sum of sine waves forced mathematicians to say exactly what a limit is, and that starts with the real numbers. We find the holes in the rational numbers and fill them with Dedekind cuts, count infinities with Cantor's diagonal argument, define distance in metric spaces, and meet open and closed sets, compactness, the Heine–Borel theorem by bisection, the Cantor set, connectedness, and a closed, bounded set of functions that is not compact. 章节 / Chapters 0:00 傅里叶的问题，以及分数里的洞 4:34 1. 有理数轴上的洞 9:37 2. 把洞填上：戴德金分割 15:11 3. 阿基米德性质、稠密性与小数 19:06 4. 数一数无穷 23:25 5. “接近”是什么意思：度量空间 27:52 6. 开集与闭集 32:41 7. 紧性 36:31 8. 海涅–博雷尔定理，用二分法证明 40:07 9. 康托尔集 44:09 10. 连通性 47:01 11. 第一个函数空间 49:26 回顾，以及账本的第一行 源代码 / Source code: https://github.com/Sir-Teo/explainer-... 动画：Manim Community Edition。 旁白：Qwen3-TTS 合成语音（AI生成；英文版声音克隆自 Kokoro-82M 的 af_heart）。 视觉风格致敬 3Blue1Brown。 Animations: Manim Community Edition. Narration: Qwen3-TTS (synthetic text-to-speech voices; the English voice is cloned from Kokoro-82M's af_heart). Visual style inspired by 3Blue1Brown.